周长公式三角形面积变形公式的应用

三角形面积变形公式的应用
王利超
本文结合实例，介绍一个面积公式的变形
∠C为a，b边的夹角）。
（a，b为三角 形两边长，
已知：如图1，在△ABC中，a，b是边长，∠C是a，b边的夹角。
求证：。

图1
证明：如图1，作底边BC上的高AH，设其长为h。
在Rt△AHC中，sinC，可得h=b·sinC。
。
说明：这个公式对于任 意三角形均适用，但初中阶段尚未学习钝角的三角函数，
我们只讨论夹角为锐角的情况。
例 已知△ABC，分别以AB，BC，CA为边向形外作等边三角形ABD、等边三角形
BCE、等边三角 形ACF。
（1）如图2，当△ABC是等边三角形时，请你写出满足图中条件的四个成立的结
论。

图2
（2）如图3，△ABC中只有∠ACB=60°时，请你证明S
△ BCE
与S
△ACF
的和等于S
△ABC
与S
△ABD的和。

图3
解：（1）在图2中，四个等边三角形组成一个大的等边三角形 ，图形很特殊，
条件也很多。如图2中菱形就有ABEC，DACB，ABCF等。这些特殊图形中，写 出
四个成立的结论应该不是难事。
①图形DAFCEB构成一个△DEF；②△DFE是等边 三角形；③△ABC的面积是△DEF
的面积的；④AB∥EF；⑤BCDF。
（2）方法1：如图4，过A作AM⊥BC于M，设BC=a，AC=b，AM=h。

图4
S
△BCE
+ S
△ACF
=
=
S
△ACB
=。
在Rt△ACM中，由∠ACB=60°可得CM=
在Rt△AMB中，
，AM=则。

所以

方法2：如图5，过A作AM∥FC交B C于M，连接DM，EM，显然∠ACB=∠CAF，得
AF∥MC，四边形AMCF为平行四边形。又 因为FA=FC，所以平行四边形AMCF为菱
形，故AC=CM=AM，∠MAC=60°。在△BA C与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，
所以△BAC≌△EMC，得BA= EM。△ADM≌△ABC，得DM=BC。

图5
所以DM=EB，DB=EM，四边形DBEM为平行四边形。
，
即
此 公式还可以推广到平行四边形中。设平行四边形相邻两边的长为a，b，锐内
角为α，则S=absin α。