导数公式三角形面积公式在几何证明中的应用

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三角形面积公式在几何证明中的应用

作者：张琳

来源：《中学生导报·教学研究》2013年第27期

三角形的面积公式其本身并不复杂，而往往是这种看似简单明了的东西学生对它的理解 并
不深，觉得它的用处不大，如果在理解它的基础上，将它与几何的有关知识结合起来，在解决
几何问题时，常常会收到事半功倍的效果。下面先介绍三角形面积公式的几种常见形式及其应
用：
公式一：SΔABC=12ah，（其中a为底，h为底a边上的高）
公式二：SΔABC=12absinC，（其中a、b为三角形的两条边，∠C为两边夹角）。
公式三：（海伦公式）SΔABC=pp-ap- bp-c，其中a、b、c为三角形的三边，p=12a+b+c。
在以上提及的三 个三角形面积公式中，第一个是基本公式，后两个都是在第一个的基础上
通过推导得出的，三角形面积公 式的形式多种，我们可以在具体问题中根据需要推导公式，比
如在解析几何中，可以用顶点坐标表示三角 形的面积、还有向量形式的三角面积公式等，下面
我就三角形面积公式在几何证明中的应用谈谈我粗略的 见解。
（1）利用三角形面积的不变性解题
三角形面积 不变性的意思是用任意方法表示出来的三角形面积是不变的，就利用这个不变
性，可以建立同一三角形不 同面积表达式的等量关系，再根据对等式的分析运算解题。
例1 如图3ΔABC中BE、CF分别是AC、AB边上的高，
AB>AC，求证：BE>CF.
图1
证明：由面积公式可得
SΔABC=12AB·CF
=12AC·BE
∴ BE=2SΔABCAC、CF=2SΔABCAB
∵ AB>AC