倍角公式平行四边形三角形和梯形的面积公式教学研究

“平行四边形、三角形和梯形的面积公式教学研究”
校本教研活动方案(二)
在本周的活动方案中，笔者主要阐述了两个方面的内容：一是平
行四边形、三角形和梯形面积公式教学的 整体思考；二是如何进行平
行四边形面积公式教学。本方案重在研究三角形和梯形面积公式的教
学问题。
一、 活动目标
1．经历阅读、思考、解答并与同伴交流关于三角形和梯形的面积
计算公式教学的相关资料与问题。
2．明确可以有哪些不同的方法推导出三角形和梯形面积公式。
3．了解三角形和梯形面积计算公式教学的不同思路。
二、活动内容、形式与时间
1．数学组老师每个人独立解答关于三角形与梯形面积计算公式教
学的相关问题，不集中，由每一个老师 自己抽时间书面解答问题，时
间约2小时。
2．与同事交流独立解答出的问题答案，时间约1小时；
3．教研组确定一个人上一节(或两 节)三角形(或梯形)面积公式的
教研课，数学组其他老师听课。时间约40分钟；
4．评 课与交流。(1)结合听课笔记，独立写出评课提纲，时间约
15分钟；(2)数学组全体老师进行评课 交流，时间约45分钟。(一个
年级如果有两个或两个以上的数学教师，可以在独立写出评课提纲的—
基础上，先进行年级组数学教师交流，并确定一人发言，代表年级组
到全体数学教师交 流会上发言。最后，全体数学教师评课交流。)
可以根据学校教研活动的时间和教研组老师的情况，选 择下面“活
动前准备”中的一些问题进行解答与交流。
三、活动前准备
解答下面的问题，并准备交流。(注：以下带有*号表示问题有一
定的难度。)
(一)
1．根据你们学校使用的这套教材，学生在学习三角形面积计算
公式之前，有 哪些经验、知识、能力与推导三角形面积计算公式关系
密切？
2．在上三角形面积公式这节课 前，某教师想为学生准备一些用
白纸做的三角形学具，以便学生在课堂上操作。你觉得：
(1) 应该为学生准备不同类型的三类三角形，即分别准备锐角、
直角和钝角三角形各若干个 ，还是只准备一类锐角三角形就可以了？
为什么？
(2)应该为学生准备一些空白的纸质三角 形，还是应该在纸质的
三角形上标出一组底和高的长度？为什么？
(3)如果要标出一组底和 高的长度，那么选择哪些数据比较合
适？就数据的奇偶性来说，底与高的长度数是选择偶数合适，还是奇
数合适？还是奇、偶数都无所谓？为什么？
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( 4)是否应该准备一些有网格背景的三角形(也就是在方格纸上
画三角形)？理由是什么？是不是会有部 分学生求不出空白的三角形
面积，但有了网格背景后，他们能够求出三角形面积？如果有这样的
学生，根据你的经验，这部分学生数占全班学生数的百分比大约是多
少？
3．*查一查不同版 本教材，三角形面积教学这节内容，有哪几个
版本的教材给出了网格背景？哪几个版本教材给出的三角形 中，标注
出了一组底与高的数据？这些数是奇数，还是偶数？想一想并写一
写，通过这样的比较 你发现了什么？你认为在上三角形面积这节课
前，学生准备哪些操作材料是合适的？为什么？
4．如果在方格纸中画一个三角形，并标注出这个三角形的一条
底边的长和这条底边上高的长度，要求学 生求出这个三角形的面积。
(1)学生可能会有哪些方法？
(2)阅读下面的每一种转化过 程，并象第①种转化方法那样，根
据图示请你写出相应的计算三角形面积的算式。
问题：如下图所示，求三角形ABC的面积是多少？
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第①种转化方法的图示：
求三角形面积的算式：
三角形面积=长方形的面积
=6×(4÷2)
=底×(高÷2)
=底×高÷2
第②种转化方法的图示：
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第③种转化方法的图示：
第④种转化方法的图示：
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这种转化方法是把这个三角形面积 转化成两个长方形的面积。就
是沿三角形水平的这条中位线对折，然后把左右两个三角形往右或左
折。这样就得到一个长方形，三角形的面积是这个长方形面积的两倍。
第⑤种转化方法的图示：

画出三角形底边上的高，联系整个长方形，就可以知道三角形
(1)与三 角形(2)的面积相等，三角形(3)与三角形(4)的面积相等。
5．上题中有五种不同的 方法求出三角形的面积计算公式，如果
在教学中要引导学生理解推导的过程，那么，虽然这些方法不同， 但
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在教师引导学生理解时，有哪些共同点？想一想，下面 的这些引导过
程是教学这些方法时共同的地方吗？
(1)要为学生准备多个要求面积 的图形，并要把转化前后的两个
图形都要呈现给学生观察，而不能因为剪拼不呈现原来的图形；可以让学生先想象原来的图形，再呈现出来。
(2)要引导学生观察、比较转化前后的两个图形面积是否有变化；
(3)要引导学生观察分 析，要求出转化后的图形的面积需要知道
哪几条线段的长度，这些线段的长度是否已经知道；
(4)怎样由转化后图形的面积计算公式得到三角形的面积计算公
式；
(5)虽然转 化的过程不同，计算的算式也有不同，有三角形面积
等于底×(高÷2)，有三角形面积等于(底÷2) ×高，但都可以统一成
三角形面积等于底×高÷2这样一个公式。
6．大家知道，可 以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边
形的方法推导出三角形的面积计算公式。这种解决问题的方 法，学生
在学习平行四边形面积计算公式时并没有接触到，这是第一次运用这
种方法求出一个平 面图形的面积，这种方法为求梯形面积公式奠定了
方法上的基础。
(1)你觉得可以怎样引导 ，能够让更多的学生自己想到用两个完
全一样的三角形拼成一个平行四边形的这种推导方法？
(2)有人认为：在学习长方形与平行四边形概念时，就要求学生
通过剪、拼的方法，明确一个长方形可 以剪成两个完全一样的直角三
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角形，一个平行四边形可以 剪成两个完全一样的锐角三角形或两个完
全一样的钝角三角形。反过来，两个完全一样的三角形可以拼成 一个
平行四边形(包括长方形)。在概念教学时，让学生有这样的操作活动，
会使得更多的学生 在求三角形面积时，想到用两个三角形拼成一个平
行四边形的这种推导方法。你同意这个观点吗？为什么 ？也有人认
为：在学习三角形面积计算公式这节课开始时，让学生进行上面的剪、
拼等操作活动 ，也可以让更多的学生想到这种推导方法。如果我们把
前一种铺垫叫做远铺垫，后一种叫做近铺垫，那么 ，你喜欢远铺垫，
还是近铺垫？为什么？
(3)以下是两种推导出三角形面积计算公式的教学 思路：思路一，
从平行四边形出发，把一个平行四边形分割成两个完全一样的三角
形，根据平行 四边形面积等于底乘高，从而求出三角形的面积等于底
乘高除以2；思路二，用两个完全一样的三角形拼 成一个平行四边形，
再根据平行四边形的面积公式得出三角形的面积计算公式；你觉得这
两种推 导过程是否一样？如果有不同，主要的差异是什么？
7．推导三角形面积计算公式有多种方法，如果按照“独立思考
---小组交流----全班汇 报”这样的顺序进行教学，那么在学生汇报方
法时，你觉得，有没有必要对某一种或几种推导方法(如两 个完全一
样的三角形拼成一个平行四边形的方法)特别重视，要求全班每一个
学生都掌握这种推 导的方法？还是每一种方法只要求学生理解就可
以了，并不要求学生自己会推导？为什么？
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8．在推导三角形面积计算公式时，是否可以先解决直角 三角形
面积计算的问题，然后把锐角三角形与钝角三角形转化成直角三角形
的方法求出面积，再 归纳出三角形面积计算公式？想一想，如果按照
这样的思路设计三角形面积这节课，教学流程可以是怎样 的？以下的
教学流程是否能够体现出上面的设计思路？
(1)开门见山揭示今天研究的课题： 三角形面积。长方形与平行
四边形都有了自己的面积计算公式，也就是只要知道长方形与平行四
边形中几条线段的长度，就可以通过计算求出它们的面积。三角形的
面积是否也有计算公式呢？今天这节 课我们一起来研究。
(2)三角形可以分成哪几类？想一想，哪一类三角形的面积可能
容易求 出？结合下面的图，引导学生先研究直角三角形的面积。

(3)在下面的网格中，如果一个 小正方形的边长是1厘米，那么，
下图中两个直角三角形的面积分别是多少？如果也要像长方形与平行四边形这样，知道它们图形中的几条线段的长度，通过计算求出面
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积，那么在求出直角三角形的面积时，要知道(测量出)哪几条线段的
长度？公式是怎样的？

在求第(1)个直角三角形的面积时，引导学生运用不同的方法得到
它的面积：①数 方格的方法得到这个直角三角形的面积是8平方厘
米；②通过剪、拼的方法得到一个2×4的长方形，求 出它的面积是
2×4=8平方厘米；③以这个直角三角形的三个顶点作为一个长方形
的三个顶点 ，再确定这个长方形的第四个顶点，得到一个4×4的长
方形(正方形)，这个直角三角形的面积是这个 长方形面积的一半，即
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4×4÷2=8平方厘米。进而 归纳出直角三角形面积等于底×高÷2。
再要求学生运用公式求第(2)个直角三角形的面积，并用其他 方法验
证运用公式求出面积的正确性。最后要求学生求出第(3)个直角三角
形的面积。 直角三角形的面积=底×高÷2，那么，其他类型的三角形面积计
算公式可能会是怎样的呢？进一步 猜想：锐角(或钝角)三角形面积=
底×高÷2。
(4)出示下图，让学生自己研究锐角三角形的面积；


学生求出这两个 三角形的面积可以有不同的方法，其中重视引导
学生通过作高，把锐角三角形转化成两个直角三形，并用 求直角三角
形面积的方法求出锐角三角形的面积，最后归纳出：锐角三角形的面
积=底×高÷2 。
(5)出示下图，让学生研究钝角三角形的面积。
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与求锐角三角形面积的思路一样，引导学生转化成直角三角形求
出钝角三角形的面积 。在求第(2)、(3)这两个钝角三角形面积时，可
以有多种方法，根据已知不同的底和高，用不同的 方法求出面积。如
果是已知钝角所对的边的长度(作为底)，与它相对应的高，那么求图
(2) 或(3)面积的方法与求图(1)的面积一样。如果已知一只锐角所对的
边的长度(作为底)，与它相对 应的高，就可以用一个大的直角三角形
面积减去一个小的直角三角形面积得到钝角三角形的面积。最后归 纳
出钝角三角形的面积=底×高÷2。从而得到一般的三角形面积计算公
式。
(二)
9．根据你们学校使用的这套教材，学生在学习梯形的面积计算
公式之前，有哪些经验、知识、 能力与推导梯形面积计算公式关系密
切？，在运用剪、拼转化的思想方法(大的思想方法)上，推导梯形 面
积公式是否存在有别于推导长方形，平行四边形、三角形面积公式的
方法？
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10．在上梯形的面积这节课时，你会创设怎样一个情 境，让学生
感受到需要解决梯形面积的计算问题？
下面是现行的几个套教材，设计的问题情境，你喜欢哪一个情境，
为什么？
教材
人教版
青岛版
北师大版
浙教版
苏教版
问题的设计
车窗的玻璃是梯形，面积是多少？
甲鱼池的形状是梯形，它的面积是多少？
一个堤坝的横截面形状是梯形，它的面积是多少？
水坝的横截面是什么形状？它的面积是多少？
把梯形剪下，看看哪些能拼成平行四边形？拼一 拼，求拼成
的平行四边形和每个梯形的面积是多少？
西南师大
版
直接给出一个梯形。你会用这个学具探索梯形面积计算吗？
11.想一想，可以有哪些不同的转化方法推导出梯形的面积计算
公式？
12．如果 已知梯形的上底是4厘米、下底是6厘米、高是2厘米，
那么下面这些不同的图示所表示的思路都可以推 导出梯形的面积计
算公式吗？请你根据这些图示写出相应的推导算式。

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例如：根据第(3)个图，推导梯形面积计算公式的算式是：
梯形面积=两个三角形面积的和
=4×2÷2+6×2÷2
=上底×高÷2+下底×高÷2
=(上底+下底)×高÷2
又如，根据第(9)个图，推导梯形面积计算公式的算式是：
梯形面积=平行四边形面积减去三角形的面积
=(6×2)-(6-4)×2÷2
=(下底×高)-(下底-上底)×高÷2
=下底×高-下底×高÷2+上底×高÷2
=下底×高÷2+上底×高÷2
=(上底+下底)×高÷2

1 3．在班级授课制教学中，常常有部分学生已经知道梯形面积计
算公式，而有些学生不知道公式。对于知 道公式的学生来说，需要验
证公式的正确性，说清楚为什么梯形面积计算公式可以是这样的。对
于不知道公式的学生来说，需要探索、寻找公式可能是怎么样的。这
两种思路是不一样的，前者是寻找公 式成立的理由，后者是寻找公式。
你觉得教师在上课时，如果兼顾这两种思路，使得每一部分学生都能< br>在原有的基础上得以发展？
14．有人认为，可以用梯形的面积计算公式“统领”长方形、平< br>行四边形、三角形的面积计算公式。也就是说，可以把长方形、平行
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四边形、三角形的面积计算公式看成梯形计算面积公式的特殊情况，
你同意这个观 点吗？为什么？阅读下文，你觉得这样的观点是否有道
理？
梯形的面积=(上底+下底)×高÷2，当
(1) 上底=下底时，从图形的角度看，梯形变 成了平行四边形或长
方形；从面积公式的角度看，这时的梯形面积=2×底×高÷
2=底×高或 长×宽。就是平行四边形或长方形的面积计算公
式。所以可以把长方形与平行四边形的面积计算公式看成 梯
形面积公式的特殊情况。
(2) 上底=0时，从图形的角度看梯形就成了三角形。从计算 公式
角度看，梯形的面积=下底×高÷2，实质上就是三角形的面
积公式，即底×高÷2；所以 三角形的面积计算公式可以看成
是梯形面积计算公式的特殊情况。
15.从上题可知，长方形 、平行四边形、三角形的面积计算公式
都可以看成是梯形面积计算公式的特殊情况，因此，有人认为：长 方
形、平行四边形和三角形也是梯形的特殊情况，从概念的相互关系上
看，可以有以下的关系：
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你同意上述观点吗？为什么？

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