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等差数列公式正方形格点阵中多边形面积的计算公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-08 16:10
tags:三角形面积公式

艺考生百日学案-高中数学新课程






正方形格点阵中多边形面积的计算公式,出现在各种形状的 格点阵中的直线
形的面积问题,以及借助构造格点阵求解的几何问题.通过恰当地分割与拼补进
行计算的面积问题.



1.如图6-1,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图
形的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 方法一:正方形格点阵中多边形面积公式:(N+
L
-1 )×单位
2
正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.

7
有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:(4+-1)×1=6.5(平方厘米)
2

方法二:如下图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,有①=3÷2=1.5,







②=2÷2=1 ,③=2÷2=1,④=2÷2=1,⑤=2÷2=l,⑥=2÷2=1,还有三个小
正方形,所以粗实 线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点
阵所围成的图形的面积 为16,所以粗线围成的图形的面积为:16-9.5=6.5平方
厘米.



2.如图6-2,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD< br>的面积是多少平方厘米?

【分析与解】方法一:正三角形方形格点阵中多边形面积公 式:(2N+L-2)x
单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.

有N=9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为:(9×2+4-2)×1=20(平方 厘
米).

方法二:如下图,我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10 个,而将不
完整的小正三角形分成4部分计算,其中①部分对应的平行四边形面积为4,所
以① 部分的面积为2,②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2,8,6,
所以②、③、④部分的面积 分别为1,4,3.所以粗实线内图形的面积为
lO+2+1+4+3=20(平方厘米).





3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图,图6 -4是用这副七巧板的7块板拼
成的小房子图,那么,第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第 4块板
与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?



【分析与解】 如下图,我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置.

设整个七巧板组成的正方形的边长为1,显然整幅图形的面积为1,且有第
1111
2块的面积为××=.
2228

1

S
3
=
S
4

S
2
=
S
5
=
S
7
=2
S
3
,有2、3、4、5、7五块 图形的面积之和为,
2
1
所以
S
4
=
S
长 方形IGFB

S
7
=.
8

1
所以第 2块板的面积等于整幅图面积的,第4块板与第7块板面积和为整
8
113
幅图面积的 +=.
16816



4.把正三角形每边三等分,将 各边的中间段取来向外面作小正三角形,得
到一个六角形.再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形 )的两边三等分,又
以它们的中间段向外作更小的正三角形,这样就得到图6-5所示的图形.如果这< br>个图形面积是1,那么原来的正三角形面积是多少?

【分析与解】 方法一:如右 图,我们将图6-5分成若干个大小、形状完全
相同的小正三角形,由40块小正三角形组成图6-5, 而由27块小正三角形组成
了图中最大的正三角形.

1
120块 小正三角形的面积为1,所以每块为,那么原来的正三角形由81
120
27
块小正三 角形组成,其面积显然为.
40

方法二:如下图,我们把图6-5中的三 角形分成A、B、C三种,设A形正三
11
角形面积为“1”,则B、C两种正三角形的面积依 次为“”、“”.
981

在图6-5中,A种、B种、C种正三角形的个数依次为 1,3,12,所以图6-5
114027
中图形的面积为1+3×+12×=.所以有“1” 对应,而原来的正三角
9812740
27
形即为三角形A,所以原来的正三角形的面 积为.
40



5.如图6-6,正六边形ABCDEF的面积 是6平方厘米,M是AB中点,N是CD
中点,P是EF中点.问:三角形MNP的面积是多少平方厘米 ?


【分析与解】 如下图,我们将图6-6分成大小、形状相同的三角 形,有正
六边形ABCDEF包含有24个小正三角形,而阴影部分MNP包含有9个小正三角形.


正六边形ABCDEF的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6÷24=以三角形MNP的面积为9×

1
,所
4
1
=2.25(平方厘米).
4


6.把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分,适当连接这些分点,便
得到了若干个面积相等的小三角形.已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分
米,那么图6-8中 的阴影部分的面积是多少平方分米?


【分析与解】 在图6-7中,原正三角形被分成25个小正三角形,而阴影
部分含有12个 小正三角形,所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5,所以
原正三角形的面积为24.5 ×25=612.5(平方分米).

而在图6-8中,原正三角形被分成49块,而阴影部 分含有16块,所以阴影
部分的面积为612.5÷49×16=200(平方分米).



7.图6-9是5×5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的 顶点称
为格点.请你在图上选7个格点,要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上,
并且使 这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么所围图形的面积是多
少平方厘米?

【分析与解】 我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形,适当的切
去正方形的 一个角可以得到一个五边形,切出2个角可以得到一个六边形,切去
3个角可以得到七边形.

为了使最后留下的七边形的面积尽可能大,那么切去的3个角面积应尽可能
的小.

如下切法得到的七边形的面积最大,为25-3×0.5=23.5(平方厘米).



8.在图6-10中,三角形ABC和DEF是两个完全相同 的等腰直角三角形,其
中DF长9厘米,CF长3厘米,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 方法一:如图(a),将原题中图形分为12个完全一样的小等
腰三角形.

△ABC占有9个小等腰三角形,其中阴影部分占有6个小等腰三角形,
S
V
ABC< br>=9×9÷2=40.5(平方厘米),所以阴影部分的面积为40.5÷9×6=27(平方
厘 米).
方法二:如图(b),连接IG,有四边形ADGI为正方形,易知FG=FC=3( 厘米),
11
S
所以DG=DF- FG=9-3=6(厘米),于是S
V
=×=×
6
2
=9.
HIG
正方形AIGD
44
而四边形IGFB为长方形,有BF=AD=DG=6( 厘米),GF=3(厘米),所以
S
长方形IGFB
=6×3=18.

阴影部分面积为A HIG与长方形IGFB的面积和,即为9+18=27(平方厘米).


方法三:如图(C),为了方便叙述,将图6-10中某些交点标上字母.
易知三角形BIE、CGF、AIH、DGH均为等腰直角三角形.

先求出等腰直 角三角形AHI、CGF的面积,再用已知的等腰三角形ABC的面
积与其作差,即为需求阴影部分的面 积.

18119
SV
SV
有S
V
==×EF× DF=,=×CF×FG=.
CGF
ABCDEF
2222

因为CF=FG=3,所以DG=DF-FG=6.

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