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“宽高公式”，搞定三角形面积
底高公式
我们知道，三角 形的面积公式为S=
1
×底×高=ah（不妨称此公式为“底高公式”），如图
21-1及图1-2所示.有趣的是，若是对于这两种情况作进一步的思考，则任何一个三角形的面
积 公式都可以通过直角三角形的面积结合“割补法”推导，具体如下：
如图1-1，S
△
ABC=S
△
ABD+S
△
ACD=
1
BD×AD+1
CD×AD=
1
（BD+CD）×AD=
1
a×h.
2222
如图1-2，S
△
ABC=S
△
ABD－S
△
ACD=
1
BD×AD－
1
CD×AD=
1
（ BD－CD）×AD=
1
a×h.
2222
图 1-1
动画演示
图1-2
当B、C两点固定时，随着顶点A的移 动，△ABC的形状也随着变化，锐角△↗直角△↘
钝角△，但是
△ABC的面积仍然是
1
×底×高=
1
ah.
22
宽高公式
在平面直角坐标系中 ，当某个三角形是“斜着”放置的时候，如图1-3所示，若想求其
面积，其实很难直接应用上面的“宽 高公式”，原因就是这个三角形的三条边以及对应的三
条高都很难求出，尤其是高，这就是“斜”的弊端 .此时我们需要用一些巧妙的方法进行转化，
将所求三角形的面积进行“割补”，即“水平宽，铅锤高” 模型，简称为“宽高公式”，具体如
下，
模型：如图所示，过A作AG⊥x轴于点G，交BC 于点D，则S
△
ABC=
1
×OC×AD.
2
（注：其中 OC表示B、C两点之间在水平方向上的距离，简称这个三角形的“水平宽”；而
AD表示点A到边BC 在竖直方向上的距离，简称这个三角形的“铅锤高”.于是三角形的面积
S＝
1
×水平 宽×铅锤高，这个公式简称为“宽高公式”. ）
2
证法借助割补法
类似刚开始“底高公式”的推导方式，利用AD将△ABC分割成两个三角形的面积之和，
如图2-1所 示，（像AD这种平行于或垂直于坐标轴的辅助线，尤其是在平面直角坐标系中
非常重要，需要予以关注 ，这是一种重要的“斜化直”的思想，我们戏称之为“改斜归正”大
法！）
S
△ABC
=S
△
ABD
+S
△
ACD
=BE×A D+CG×AD=
（
BE+CG
）
×AD=
（
OG+CG< br>）
×AD =OC×AD
从而问题得证
.
解题策略: 我们知道，“在变化中抓不变量”也是一种重要的思想方法，“以不变应万变”.
在三角形三个顶点中，一般情况下会有两个定点和一个动点，抓住这两个定点就是关键所
在.如图所示， 点B和点C是两个定点，而点A是一个动点，这时，我们就应该过点A作
平行于y轴（或者平行于x轴） 的直线交直线BC于点D，利用B、C两个定点求出直线
BC的解析式，再设出动点A的坐标，将横坐标 或者纵坐标带入直线BC的解析式，表示出
点D的坐标，进而容易表示出线段AD. 抓不变量的思想，抓不动的两个点 过第三个点割或
补，横割竖割都可以，但竖割思路简单，计算方便！
题型演示
如图，抛物线经过A（1,0），B（4,0），C （0，-4）三点，点D是直线BC上方的抛
物线上的一个动点，连接DC、DB，则△BCD的面积的 最大值是（ ）
A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 9
庖丁解牛：
第一步：由 抛物线经过A、B、C三点，易求解析式为y=-x
2
+5x-4，OB=4.
第二步：抓住两个定点B和C，它们之间在水平方向上的距离OB，作为△ABC的“水平宽”；
第三步：过动点D作平行于y轴的直线交边BC所在的直线于点E，则DE作为△BCD的“铅锤高”.
第四步：利用B、C两个定点求出直线BC的解析式
第五步：设出动点D的坐标，将横坐标带 入直线BC的解析式，表示出点E的坐标，利用y
D
－y
E
进而容易表
示出线段AD
第六步：通过面积“加法”，得到所求三角形的面积为S
△
ABC< br>=
1
AD×OC.
2
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本文更新与2020-09-08 16:25，由作者提供，不代表本网站立场，转载请注明出处：https://www.bjmy2z.cn/gaokao/389207.html