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弧长计算公式扇形、三角形、弓形、菱形公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-08 16:32
tags:三角形面积公式

文言虚词-关于元旦作文


常用面积公式

面积公式



扇形面积公式

S=π





















在半径为R的圆中,因为360°的圆心角所对 的扇形的面积就是圆面积
R^2,所以圆心角为n°的扇形面积:
S=nπR²÷360
比如:半径为1cm的圆,那么所对圆心角为135°的扇形的周长:
C=2R+nπR÷180
=2×1+135×3.14×1÷180
=2+2.355
=4.355(cm)=43.55(mm)
扇形的面积:
S=nπR²÷360
=135×3.14×1×1÷360
=1.1775(cm²)=117.75(mm²)
扇形还有另一个面积公式
S=12lR
其中l为弧长,R为半径
扇环面积
圆环周长:外圆的周长+内圆的周长(圆周率X(大直径+小直径))
圆环面积:外圆面积-内圆面积(圆周率X大半径的平方- 圆周率X小半
径的平方圆周率X(大半径的平方-小半径的平方))
用字母表示:
S内+S外(∏R方)
S外—S内=∏(R方-r方)
还有第二种方法:
S=π[(R-r)×(R+r)]








R=大圆半径
r=圆环宽度=大圆半径-小圆半径
还有一种方法:
已知圆环的外直径为D,圆环厚度(即外内半径之差)为d。
d=R-r,
D-d=2R-(R-r)=R+r,
可由第一、二种方法推得 S=π[(R-r)×(R+r)]=π(D-d)×d,
圆环面积S=π(D-d)×d 这是根据外直径和圆环厚度(即外内半径之差)得出面积。这两个数
据在现实易于测量,适用于计算 实物,例如圆钢管。

三角形面积公式
海伦公式
任意三角形的面积公式(海伦公式):S²=p(p-a)(p-b)(p-c), p=
(a+b+c)2, a.b.c为三角形三边。
证明: 证一 勾股定理
分析:先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手,运用勾股定
理推导出海伦公式。
证明:如图ha⊥BC,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC
= aha= a× = 此时S△ABC为变形④,故得证。
证二:斯氏定理
分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D, 若BD=u,DC=v,AD=t.则 t 2 = 证
明:由证一可知,u = v = ∴ ha 2 = t 2 = - ∴ S△ABC = aha = a ×
= 此时为S△ABC的变形⑤,故得证。
证三:余弦定理
分析:由变形② S = 可知,运用余弦定理 c2 = a2 + b2 -2abcosC 对
其进行证明。
证明:要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三
角形计算公式,故得证。
证四:恒等式 分析:考虑运用S△ABC =r p,因为有三角形内接圆半
径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式:若∠A+∠B+∠C =180○
那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明:如图,tg = ① tg = ②
tg = ③ 根据恒等式,得: + + = ①②③代入,得: ∴r2(x+y+z) = xyz
④ 如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z =








代入 ④,得: r 2 · = 两边同乘以 ,得: r 2 · = 两边开方,得: r · =
左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①,故得证。
证五:半角定理 半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ∴r =
× y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得: r3 = ×xyz
坐标面积公式
1:△ABC,三顶点的坐标分别为 A(a1,a2),B(b1,b2)C(c1,c2),
S△ABC=∣a1b2+b1c2+c1a2-a1c2-c1b2-b1a2∣2.
2:空 间△ABC,三顶点的坐标分别为
A(a1,a2,a3),B(b1,b2,b3)C(c1,c2c 3),面积为S,则
S²=
(a1b2+b2c2+c1a2-a1c2- c1b2-b1a2)²+(a2b3+b2c3+c2a3-a2c3-c2b3
-b2a 3)²+
(a1b3+b1c3+c1a3-a1c3-c1b3-b1a3)².

圆面积公式
设圆半径为 :r, 面积为 :S .
则 面积 S= π·r² π 表示圆周率
即 圆面积 等于 圆周率 乘以 圆半径的平方

弓形面积公式
设弓形AB所对的弧为弧
当弧AB是劣弧时,那么
是圆心)。
当弧AB是半圆时,那么
当弧AB是优弧时,那么
是圆心)
AB,那么:
S弓形=S扇形-S△AOB (A、B是弧的端点,O
S弓形=S扇形=12S圆=12×πr²。
S弓形=S扇形+S△AOB(A、B是弧的端点,O
计算公式分别是:
S=nπR²÷360-ah÷2
S=πR²2
S=nπR²÷360+ah÷2

椭圆面积计算公式
椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率
(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

菱形面积公式
定理简述及证明








菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a×b)÷2
菱形的面积也可=底乘高
抛物线弓形面积公式
抛物线弦长公式及应用
本文介绍一个公式,可以简捷准确地求出直线被抛物线截得的弦长,还
可以利用它来判断直 线与抛物线位置关系及解决一些与弦长有关的题目.
方法简单明了,以供参考.
抛物线弓形面积公式等于:以割线为底,以平行于底的切线的切点为
顶点的内接三角形的34,即:
抛物线弓形面积=S+14*S+116*S+164*S+……=43*S
定理 直线y=kx+b(k≠0)被抛物线y²=2Px截得的弦AB的长度为
∣AB∣= ①
证明 由y=kx+b得x=代入y²=2Px得y2-+=0
∴ y1+y2=,y1y2=.
∣y1-y2∣==2,
∴∣AB∣=∣y1-y2|=
当直线y=kx+b(k≠0)过焦点时,b=-,代入①得∣AB∣=P(1+k2),
于是得出下面推论:
推论1 过焦点的直线y=kx-(k ≠0)被抛物线y²=2Px截得的

AB的长度为
∣AB∣=P(1+k2) ②
在①中,由容易得出下面推论:
推论2 己知直线l: y=kx+b(k≠0)及抛物线C:y²=2Px
Ⅰ)当P>2bk时,l与C交于两点(相交);
Ⅱ)当P=2bk时,l与C交于一点(相切);
Ⅲ)当P<2bk时,l与C无交点(相离).
定理应用
下面介绍定理及推论的一些应用:
例1 (课本P.57例1)求直线y=x+被抛物线y=x²截得的线段的长?
分析:题中所给方程与定理中的方程形式不一致,可把x看成y用①即
可.
解 曲线方程可变形为x²=2y则P=1,直线方程可变形为x=y-,
即k=1,b=-.由①得∣AB∣=4.
例2 求直线2x+y+1=0到曲线y²-2x-2y+3=0的最短距离.
分析:可求与已知直线平行并和曲
线相切的直线,二直线间距离即为要求的最短距离.
解 曲线可变形为(y-1)²=2(x-1)则P=1,由2x+y+1=0知k=- 2.
由推论2,令2bk=P,解得b=-.∴所求直线方
程为y-1=-2(x-1)-,即2x+y-=0. ∴.
故所求最短距离为.
例3 当直线y=kx+1与曲线y=-1有交点时,求k的范围.
解 曲线可变形为(y+1)²=x+1
(x≥-1,y≥-1) ,则P=12.直线相应地可变为 y+1=k(x+1)-
k+2,∴b=2-k.由推论2,令2b k≤P,即2k(2-k)≤,解得k≤1-或k≥1+.故
k≤1-或k≥1+时直线与曲线有交点.
注:曲线作怎样变形,直线也必须作相应平移变形,否则会出现错误.
例4 抛物 线y²=2Px内接直角三角形,一直角边所在直线为y=2x,
斜边长为5.求抛物线的方 程.
解 设直角三角形为AOB.由题设知kOA=2,kOB=-.由①, |OA|=,
|OB|=4P.由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得P=.∴抛物线方程为y²=x.
例5设O为抛物线的顶点,F为焦点,PQ为过的弦,己知
∣OF∣=a,∣PQ∣=b, .求SΔOPQ
解 以O为原点,OF为x轴建立直角坐标系(见图),依题设条件,抛物线< br>方程为y²=4ax(P=2a),设PQ的斜率为k,由②|PQ|=,
已知|PQ|=b,k²=.∵k²=tg2θ∴sin2θ=.即sinθ=,
∴SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF =a|PF|sinθ+a|FQ|sin(π-θ)=ab
sinθ=.
常见的面积定理
1. 一个图形的面积等于它的各部分面积的和;
2. 两个全等图形的面积相等;
3. 等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底
的和相等)的面积相等;
4. 等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积比等于其所
对应的高(或底)的比;
5. 相似三角形的面积比等于相似比的平方;
6. 等角或补角的三角形面积的 比,等于夹等角或补角的两边的
乘积的比;等角的平行四边形面积比等于夹等角的两边乘积的比;

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