对数函数公式广义垂足三角形的面积关系

广义垂足三角形的面积关系
225324 江苏省高港中等专业学校 杨承毅
由于 各种文献的差异，在本文中广义垂足三角形定义为：以锐角三角形内任意一
点在其三边上的射影点为顶点 的三角形称为该点的广义垂足三角形.例如，我们知道三
角形的三条高交于一点（垂心），以三条高的垂 足为顶点的三角形，即是垂心的广义
垂足三角形.
一、广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
定理 已知ABC的外接圆O的半径为R， 在ABC内任取一点T，由T向ABC
的三边BC、CA、AB作垂线，垂足分别为Q、P、S，QPS 就是点T关于ABC的广义
垂足三角形，设T到圆心O的距离为，则：
=
. (1)
注：在本文中作如下规定（以下不在说明）
(1)ABC的三内角A、B、C所对的边分别为、AC=b、AB=c；面积表示为.
(2) ABC的外心为O，外接圆半径为R；内心为I，内切圆半径为r；垂心为H；重心
为G.
(3)表示点T关于ABC的广义垂足三角形的面积.
B
N
D
S< br>T
O
A
M
C
A
S
H
Q
Q< br>B
B
K
2
G
3
S
H
3
H< br>K
1
C
A
H
2
K
P
H
1< br>P
E
Q
G
1
O
K
3
P
图( 1)
图(2)
图(3)
G
2
C
证明 如图(1)， 连接AT、BT并延长分别交圆周于点D、E，又连接OT，设直线OT分
别交圆周于点M、N.
由已知有：TPAC，TSAB，从而A、P、T、S四点共圆，∴PST=PAT. ①
同理：B、S、T、Q四点共圆，∴QST=QBT. ②
又∵PAT与CBD是同弧CD所对的圆周角，从而PAT=CBD. ③
由①、②、③式，有PST+QST=PAT+QBT =CBD+QBT.
而PSQ=PST+QST，EBD=CBD+QBT，∴PSQ=EBD.
由三角形的面积公式，有

=
PSQSsinPSQPSQSsinEBD. ④
又∵AT、BT分别是平面四边形APTS、BSTQ外接圆的直径，∴由正弦定理，有

=
AT，
=
BT. 即PS=AT sinBAC，QS=BT sinABC. ⑤
又BDT与ACB是同弧AB所对的圆周角，从而BDT=ACB，在BTD中由正弦定理，
有
1



==
，∴sinEBD
=
. ⑥
把⑤、⑥式代入④式，有
=
PSQSsinEBD
=
AT sinBACBT sinABC

=
ATDT sinBAC sinABCsinACB.
由圆幂定理，得ATDT=MTNT=
∴
(显然R＞).
=
)sinBACsinABCsinACB.
，sinABC
=
， 在ABC中，由正弦定理有：sinBAC
=
∴
∴
=
=
b sinACB，而
.即(1)式成立.
=
b sinACB，
二、 锐角三角形中一些特殊点的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
1.内心的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
推论1锐角ABC的内心I关于ABC的广义垂足三角形的面积为

=
. (2)
=2Rr，即=2Rr，
.
证明 由三角形的欧拉(Euler)公式有：
∴又由公式(1)可得
==
即推论1成立.
2.垂心的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
推论2锐角ABC的三边BC、CA 、AB上的高线分别为AQ、BP、CS，垂足分别为Q、P、
S，三高线的交点为H(即ABC的垂心 )，则QPS就是垂心H关于ABC的广义垂足三角
形，则
=2cosAcosBcosC. (3)
证明 如图(2)，由已知显然有：
AS=bcosA，AP=ccosA， BQ=ccosB，BS=acosB，CP=acosC，CQ=bcosC.
在ASP中，由余弦定理，有
=+2ASAPcosA=+2bc
=(+2bc cosA).
在ABC中，由余弦定理有：=+2bc cosA，将此式代入上式，得
=，即PS=cosA.
同理可得： PQ=ccosC.
由已知显然有：点H、S、A、P与点H、P、C、Q分别四点共圆，
而SPH与SAH是同弧所对的圆周角，∴SPH=SAH=BC.
同理可得：HPQ=HCQ=
于是
而=
BC.∴SPQ=SPH+HPQ =BC.
csinBcosAcosBcosC，
=
PSPQ
csinB，∴
=
cosA ccosC2sinBcosB=
. =2cosAcosBcosC
2


即=2cosAcosBcosC.
∴推论2成立.
3. 重心的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
推论3 锐角ABC的重心G关于ABC的广义垂足三角形的面积为

=
. (4)
证明 由三角形的欧拉(Euler)线可知：ABC的垂心H，重心G，外心O三点共线，且
OG
=
OH，∴
=
. ①
把公式(3)代入公式(1)，得2cosAcosBcosC
这里=OH，从而化简，得
在ABC中，易证： +
∴cosAcosBcosC
=
把③式代入②式，整 理得=
=
=
.
18cosAcosBcosC. ②
+=2+2cosAcosBcosC.
. ③
94(++
，sinC
=
.
]，
在ABC中，由正 弦定理，有sinA
=
∴=9(
，sinB
=
). ④
=().
)有

=
.
由①式有
=
由广义垂足三角形的面积公式(1)，(这里
=
∴推论3成立.
4. 外心的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
推论4锐角ABC的外心O关于ABC的广义垂足三角形的面积为

=
. (5)
证明 由广义垂足三角形的面积公式(1)，(这里d=0)有
=

=
.
∴推论4成立.
5. 九点圆圆心的广义垂足三角形与原三角形面积之间的关系.
推论5 已知锐角ABC的外接圆O半径为R，三边BC、CA、AB上的中点分别为、、
，其 三边上的高线为A、B、C，垂足分别为、、，ABC的垂心为H，
线段AH、BH、CH的中点分别为 、、，则可知这九点、、、、、、
、、共圆，其圆心K在ABC内 （具体证明过程可参考民主与建设出版社1996
出版的《平面几何思维训练》第167页，余文炫 詹 方玮著），过K分别向三边BC、CA、AB
作垂线，垂足分别为Q、P、S，则QPS是九点圆圆心K 关于ABC的广义垂足三角形，则

=
. (6)
证明 如图(3)，由于OK
=
OH，即
=
3
，由推论3的证明过程中的公式④：


=9()，得
=
().
由广义垂足三角形的面积公式(1)，(这里d=OK)得
=
即

=
.
.
=
∴推论5成立.
三、锐角三角形中一些特殊点的广义垂足三角形面积之间的关系.
由公式（1），有 =()，从而有下面的一些结论.
1. 锐角ABC中，垂心H和重心G的广义垂足三角形面积之间的关系.
∵=()，=(
=9
).
. 由三角形的欧拉(Euler)线有：OH=3OG，从而
∴有
=2.
(7)

2. 锐角ABC中，垂心H和九点圆圆心K的广义垂足三角形面积之间的关系.
∵
∴有
=()，=().而OH=2OK，
=.
(8)
3. 锐角ABC中，重心G和九点圆圆心K的广义垂足三角形面积之间的关系.
∵=()，=().
由三角形的欧拉(Euler)线有：OH=3OG，而OH=2OK，于是∴有9
=
.
. (9)
4. 锐角ABC中，重心G、垂心H和九点圆圆心K的广义垂足三角形面积之间的关系.
由(7)、(8)式消去，可得：
27+5=32. (10)

附：
(1)作者通讯地址：
225324 江苏省泰州市高港中等专业学校
杨承毅
(2)作者简介：
杨承毅，男，苗族，生 于1973年12月，中学一级教师，现主要从事中等职业学校
的数学教学与研究工作。
(3)作者的E-mail:jsstxs@
(4)本人郑重声明：本稿只投贵刊，没有向其他任何刊物投递。
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