太阳高度角计算公式(完整版)奥数-格点和面积

学科：奥数
教案内容：第六讲 格点与面积

生活中我们常 借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了
鱼钩和网。同样在数学的学习中 ，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面 积。先来介绍什么是“格点”。见下图：

这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把 水平线和垂直线的交点称为“格点”，
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。图中带阴 影的小方格就是一个面积
单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。利 用格点求图形的面积通常
有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积 单位来求图
形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。当然还可以将这两种方法结合起来，求< br>出某些较复杂图形的面积。
例1计算下图中各图形的面积：

分析：先仔细 观察图中的每个图形，选择方法。显然第一、三、六图可以直接数出包含
多少个面积单位即可。而二、四 、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用
虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求 长方形面积来求这些图形面积。
解答：
（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四 边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的
面积等于长方形面积，所以平行四 边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单 位的一半，
合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方 形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方
形面积的一半，则三角形面积为3。
（ 5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积
一样的梯形，形成一 个大的长方形。长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方
形的面积的一半。所以梯形 的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
（6）将图中梯形用虚线分成3块，它包含有5个面积单位和2 个面积单位的一半，合
起来有6个面积单位，所以它的面积为6。
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例2计算下面这个格点多边形的面积。

分析：这是一个不规则的多边形，不能直接 求出它的面积。可用长方形的面积减去4
个直角三角形的面积，如图1所示；另外还可将该四边形分割成 几块，如图2。
解答：
方法一：3×4－（2×1÷2＋2×1÷2＋2×2÷2＋3×1÷2）=6.5（面积单位）
方法二：1×2÷2＋1×3÷2＋1×1÷2＋3×1÷2＋1×2=6.5（面积单位）

例3 相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘M。
分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列的规律？
算出各图形的面积。找出图形外面一周的点子数、中间的点子数与面积三者之间的关系。

分析：仔细观察图形：
横看，从左往右图形一周的格点数逐渐增多，中间的格点数不变；
竖看，从上往下图形一周的格点数不变，中间的格点数逐渐增多。
图形一周的格点数、中间的 格点数与面积究竟有什么关系呢？我们可以将图形按中间没
有个点、中间有一个格点和中间有两个格点进 行分组列表分析。
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第（1）组
图形编号
一周格点数
中间格点数
面积（平方厘
M）
①
4
0
1
②
6
0
2
③
8
4
0
3
④
1
0
6
中间没有格点时，面积=一周格点数÷2－1
第（2）组
图形编号
一周格点数
中间格点数
面积（平方厘
M）
⑤
4
1
2
⑥
6
1
3
⑦
8
4
1
4
⑧
1
1
7
中间有一个格点时，面积=一周格点数÷2＋（1－1）
第（3）组
图形编号
一周格点数
中间格点数
面积（平方厘
M）
⑨
4
2
3
⑩
11
6
2
4

12
8
4
2
5

1
2
8
中间有两个格点时，面积=一周格点数÷2＋（2－1）
解答：（1）中间格点 数相同时，图形的面积随着一周的格点数增加而增加；当一周的格
点数相同时，图形的面积同样随着中间 的格点数增加而增加。
（2）各图形的面积见表格。
各图形面积的大小与一周的格点数、中间的格点数都有关系，格点图形的面积计算公式是：
图形面积=图形一周的格点数÷2＋（中间格点数－1）
说明：格点图形的面积求法很灵活，不要死记公式，要具体题目具体研究。
例4下图是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积：

分析：这是一个组合图形 ，面积可分成几个部分来求。本图可分为两个三角形和一个长
方形三部分。每一部分面积的求法，因图而 异。如两个三角形需要扩展成长方形再求面积，
而长方形只要直接数单位面积即可。
解答：左边三角形面积=4×4－1×2÷2－4×3÷2－4×2÷2=5；
右边三角形面积=4×4－1×3÷2×2－4×4÷2－1×1=4；
长方形的面积为6×2=12；所以礼盒面积为：5＋4＋12=21
3 10
说明：此题还可以直接用公式，请你自己试一试。
例5在下图中有21个点，每相邻三点构成 一个单位面积的等边三角形，计算三角形ABC
的面积。

分析：此题是一个三角形 格点图。每三个相邻的格点构成一个正三角形，为一个面积单
位。三角形格点图形面积的计算类似于正方 形格点图形面积的计算，可以直接数图形所包含
的面积单位，也可将之转化为几个易求的三角形，在通过 加减运算得到。此题中三角形ABC
的面积不能通过直接数格点面积来求，可以把它扩展成三一个大三角 形，再减；也可以把它
分成几个小的三角形，然后再加。
解答：方法一：给三角形ABC添加 Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ部分小的三角形，则得到由25个单位三
角形构成的大三角形，现在只要分别求出Ⅰ、Ⅱ及Ⅲ 三个小三角形的面积即可。
三角形Ⅰ是一个平行四边形的面积的一半，如图4中的虚线平行四边形。这 个平行四边
形包含6个面积单位，所以他的面积为6，三角形Ⅰ的面积为：6÷2=3
同理， 三角形Ⅱ及Ⅲ的面积分别为4和8，所以三角形ABC的面积为：25
－3－4－8=10（面积单位）
方法二：将三角形分成几个易求面积的三角形（如图3）。Ⅰ的面积为1×3=3，Ⅱ的面
积可 直接数为1，Ⅲ的面积为1×2=2，Ⅳ的面积为2×2=4，于是三角形ABC的面积为：3＋
1＋2 ＋4=10。
想一想：以三角形Ⅰ为例，为什么这里三角形的面积可以用1×3计算？可联系方法一< br>中三角形Ⅰ面积的求法。
说明：关于三角形格点多边形的面积也有类似于正方形格点多边形的面 积计算公式。可
以按照例3的方法归纳总结，就可以得到三角形格点多边形面积的计算公式：
三角形格点多边形的面积=多边形内包含的格点数×2＋多边形周界上的格点数－2。
例6在 下图中有45个正方形格点，过图中三点连一个三角形，并且至少有一条边水平
或垂直。问共有多少个这 样的格点三角形？

分析：如果要在图中找一个面积为8的格点三角形很容易，但是要求出有 多少个这样的
格点三角形就有些困难，不过功夫不负有心人，一定能找到方法。注意到待计数的格点三角
形的底与高的乘积为16，所以可以分类计数。
解答：因为16=4×4=2×8=8×2，所以可以分为以下几类来计数：
（1）每个4×4的正方形中有4个直角三角形符合要求，总数为4×5=20（个）；
4 10
（2）每个2×8的长方形中也有4个直角三角形符合要求，总数为4×3=12（个）；
（3）符合要求的不是直角三角形的三角形有：
4×4，状的有：5×7=35（个）；状的有：35个；
状的有：5×3=15（个）；
8×2，
2×8，
状的有：15个；
状的有：21个；
状的有：9个；
状的有：3×7=21（个）；
状的有 ：3×3=9（个）；
共有：（35＋15＋21＋9）×2=160（个）
所以符合要求的三角形一共有：20＋12＋160=192（个）
阅读材料
有形状的数
最早把自然数和几何图形联系在一起的是古希腊数学家毕达哥拉斯。毕达哥拉斯把 数描
绘成沙滩上的小石子，又按小石子所能排列的形状，寻找自然数与正三角形、正方形、正五
边形……之间的关系。
毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1、3、6、10等数时，小石子都能摆成 正三角形，
他把这些数叫做三角形数；当小石子的数目是1、4、9、16等数时，小石子都能摆成正方 形，
他把这些数叫做正方形数；当小石子的数目是1、5、12、22等数时，小石子都能摆成正五边形，他把这些数叫做
正五边形数……

毕达哥拉斯还摆出了其它多边形数。 有趣的事，他还进一步发现了各种“形数之间的内
在联系”。比如，每个大于1的正方形数都可以表示成 两个相邻三角形数的和。
4=1+3，9=3+6，16=6+10，……
反过来，任意两个相邻的三角形数相加，必然是一个正方形数，也就是平方数。
这从下面的图形中可以得到证实。
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毕达哥拉斯借助生动的几何直观发现 ，第n个三角形数等于1+2+3+…+n，第n个正方
形数等于
n
，……根据这些规 律，人们就可以写出很多很多的形数了。
2


练习题
1．计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是1厘M）

分析与解答：
（1）直接计数，图1中包含5个面积单位，所以它的面积为5；
（2）直接计数，图2中包含6个面积单位，所以它的面积为6；
（3）将图3分为上下两部 分，上面的长方形包含有6个面积单位，下面的平行四边形
可以转化为一个1×2的长方形，所以面积为 2。图3的面积为6＋2=8（面积单位）；
（4）图中包含2个面积单位和4个单位面积的一半，所以图4的面积为4；
（5）将图5按 下图分割为上下两部分，上面的包含3.5个面积单位，下面的面积为3
×1÷2=1.5（面积单位） ，所以图5的面积为5；

（6）直接计数，图6中包含7个面积单位，所以它的面积为7。
2．下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

分析与解答：
（1）喇叭图中包含2个面积单位和2个面积单位的一半，所以它的面积为3；
（2）将小猫 图分为左右两部分，头与身子部分的面积为（可直接计数）10，尾巴部分
是一个平行四边形，它的面积 与一个单位面积相同，所以小猫图的面积为11。
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（3）小狗图面积的求法与小猫图形面积的求法相同，它的面积为6。
说明：此题还有其他的分割方法，请你自己想一想。
想一想：请你用格点图形面积的计算公式 试求每一个图形的面积，你发现了什么？是不
是每个图都可以用公式计算，哪个可以，哪个不可以，为什 么？
3．求下图中梯形的面积。

分析与解答：这个梯形图的一周共有6个格点， 中间共有16个格点，运用正方形格点
图形的面积公式的：6÷2＋16－1=18（面积单位）
想一想：还有其他方法吗？请你试做。
4．下图中三角形的面积

分析与解答：
方法一：这个三角形图的一周共有6个格点，中间共有13个格点，运用正方形 格点图
形的面积公式的：6÷2＋13－1=15（面积单位）。
方法二：将三角形扩展成一 个6×6的正方形时，增加了三个直角三角形，因为直角三
角形的面积简单易求，所以我们将求三角形A BC的面积转化为求正方形的面积和直角三角形
的面积，然后求差即可。
正方形的面积为36 ，左上角的直角三角形的面积为2×6÷2=6（面积单位），右下角的
直角三角形的面积为3×6÷2 =9（面积单位），右上角的直角三角形的面积为4×3÷2=6（面
积单位），由此可得三角形ABC 的面积：
36－6－9－6=15（面积单位）
5．下面图 中有21个点，其中相邻的三点所形成的等边三角形的面积为1，试计算四边
形的面积。
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分析与解答：
方法一：这个四边形图的一周共有4个格点，中间共有5个格 点，运用三角形格点图形
的面积公式的：5×2＋4－2=12（面积单位）。
方法二：加一 条辅助线，将四边形分成下图中的2个三角形，左上的三角形面积为4×
1=4，右下的三角形面积为4 ×2=8，所以四边形的面积为4＋8=12。

6．计算下面三角形格点多边形的面积

分析与解答：
这个六边形图的一周共有7个格点，中间共有8个格点，运用三角形 格点图形的面积公
式：8×2＋7－2=21（面积单位）。
7．计算下面三角形格点中多边形的面积。

分析与解答：
方法一：这个 多边形图的一周共有10个格点，中间共有9个格点，运用三角形格点图
形的面积公式的：9×2＋10 －2=26（面积单位）。
方法二：加辅助线将这个多边形分成如下图所示的三个三角形和一个平行四 边形。左下
角的三角形为一个面积为10的平行四边形面积的一半是5，右上角的三角形的面积为3（请
你自己找出它所在的平行四边形），中间的等边三角形的面积为4×4=16，小平行四边形的
面积为2，因此多边形的面积为：
5＋3＋16＋2=26（面积单位）

8．下 图中有16个格点，以图中三点为顶点连一个三角形，并且至少有一条边水平或垂
直。问共有多少个这样 的格点三角形，面积分别是多少？
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分析与解答：以这16个格点中任 意三点为顶点连成的三角形面积最多为整个图形面积
的一半，即任一三角形的面积至多为3×3÷2=4 .5（面积单位）。
面积为4.5的直角三角形有4个；
面积为4.5的非直角三角形有2×4=8（个）；
面积为3×2÷2=3的直角三角形有4×4=16（个）；
面积为3×2÷2=3的非直角三角形有6×4=24（个）；
面积为2×2÷2=2的直角三角形有4×4=16（个）；
面积为2×2÷2=2的非直角三角形有8×4=32（个）；
面积为3×1÷2=1。5的直角三角形有4×6=24（个）；
面积为3×1÷2=1。5的非直角三角形有4×6=24（个）；
面积为2×1÷2=1的直角三角形有4×12=48（个）；
面积为2×1÷2=1的非直角三角形有（4＋8＋8＋4）×2=48（个）；
面积为1×1÷2=0。5的直角三角形有4×9=36（个）；
面积为1×1÷2=0。5的非直角三角形有（6＋12＋12＋6）×2=72（个）；
所以图中共有
4＋8＋16＋24＋16＋32＋24＋24＋48＋48＋36＋72=352（个）格点三角形。
9．在下图中含有多少个格点正方形？

分析与解答：这个问题可分类讨论：
面积为1个单位面积的格点正方形 共有3×3=9个；
面积为2个单位面积的格点正方形 共有2×2=4个；
面积为4个单位面积的格点正方形 共有2×2=4个；
面积为5个单位面积的格点正方形 共有2个；
面积为9个单位面积的格点正方形只有1个。
所以图中共有格点正方形9＋4＋4＋2＋1=20（个）。
10．你知道下图中共有多少个三角形吗？每个三角形的面积各是多少？
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分析与解答：图中共有8个三角形，每个三角形的面积分别为：
三角形ADE、BED的面积为4×3÷2=6；
三角形ADC、BCD的面积为4×4÷2=8；
三角形ACE、BCE的面积为6＋8=14；
三角形ADB的面积为6×2=12；
三角形ABC的面积为14×2=28。

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