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椭圆周长公式平行四边形面积计算公式推导过程及其原理

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-08 17:42
tags:三角形面积公式

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八、四边形

朱建良 太仓市实验中学

【课标要求】
(1)能探索并了解多边形的内角和与外角和公式,了解正多边形的概念.
(2)能掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念、判定及其性质,了解它们之间的关系;
了解四边形的不稳定性.
(3)能掌握梯形的概念,探索并了解等腰梯形的有关性质,并会运用将梯 形分解为平行四边形
与三角形的方法来解决一些简单问题.
(4)能通过探索平面图形的镶 嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并
能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.
【课时分布】
四边形部分在第一轮复习时大约需要6个课时,其中包括单元测试.下表为内 容及课时安排(仅
供参考).


课时数 内 容
1 平行四边形 特殊的平行四边形(矩形、菱形、正方形)2
梯形1
四边形单元测试与评析2
【知识回顾】
1、知识脉络




形矩
平行四边形 正方形 形菱 四

形 等腰梯形
形梯
直角梯形
2、基础知识)平行四边形是中心对称图形,具有两组对边分别平行且相等、对角相等及邻角互
(1 补、两条对角线互相平分等特征. )平行四边形的识别方法有:(2 ①一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形; ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ③对角线互相平分的四
边形是平行四边形; ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
⑤两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
(3)矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四 边形,它们除了具有平行四边形的所有特征外,还
具有以下性质:
矩形:四个角都是直角、对角线互相平分且相等.
菱形:四条边都相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角.
正方形:四条边 都相等、四个角都是直角、对角线互相垂直平分且相等,每一条对角线平分一组
对角(具有矩形、菱形的 所有特征).
(4)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;矩形、菱形都有两条 对称轴,
而正方形有四条对称轴,它们的对称中心都是对角线的交点.
(5)矩形、菱形、正方形的识别方法有:
①有三个角是直角的四边形是矩形;
②有一个角是直角的平行四边形是矩形;
③两条对角线相等的平行四边形是矩形;
④有四条边相等的四边形是菱形;
⑤有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
⑥两条对角线垂直的平行四边形是菱形;
⑦有一组邻边相等的矩形是正方形;
⑧有一个角是直角的菱形是正方形.
(6)有且只有一组对边平行的四边形叫做梯形,这组 平行的边叫做梯形的上底与下底,不平行
的两边叫做梯形的腰,两腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一个角 是直角的梯形叫做直角梯形.
(7)等腰梯形是轴对称图形,它的对称轴是过两底中点的直线,它有以下特征:
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;
②等腰梯形的两条对角线相等.
(8)等腰梯形的识别方法有:
①同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
②两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
3、能力要求
例1 下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和( )
A.260° B.1980° C.600° D.2180°
【分析】(1)多边形问题一般可转化为三角形问题来解决,从n 边形的一个顶点出发可
(n?2)?180?

内角和为个三角形,-2)n可将-以 连结(n3)条对角线,n边形分割成(因此,n边形的内
角和必为180°的整数倍.
( 2)求正多边形的内角和,可先求其每个外角的度数,因为多边形的外角和是一
360?360?)(1 80??
,其每个内角即为. 边形的每个外角为n360个常量,即°.正
nn
【解 】1980°是180°的整数倍,故选B.

【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式,也可以利用公式求出多边形.
的边数,教师在复习时要引导学生掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个 数等变
化规律.
Y

和BF分别平分∠如图(8-1)DABABCD中,AE例2
EFDC
相交于点M.E、F,AE、
BF∠ABC,交CD于点
M
⊥BF;(1)试说明:AE
AB
与CE的大小关系,并予以说明.(2)判断
线段 DF
8-1
和BAE与∠ABFAE⊥BF,可探求△ABM中∠【分析】要证的大小关系时, DF与CE
的度数,通过正确识图分析,把已知条件巧妙转化.判断线段中寻求相等的数量关系,再依据 、
△BCFADE先探求DE与CF的大小关系,可在△
(1)方法一:如图(8-2
Y
ABCD对边相等的性质过渡求证. ),【解】
Y
180°, ∴∠DAB+∠ABC∵在=ABCD中,AD∥BC,
EFDC

,2∠
BAE ∴∠DAB∵AE=BF分别平分∠DAB和∠ABC,
M
∠ABF.∠ABC=2
BA
90°.°,即∠BAE
+∠ABF=∴2∠BAE+2∠ABF=180
8-2
BF. ∴AE⊥∴∠ABM=90°.
P,BC、AE相交于点方法二:如图(8-3),延长
Y
APB. ∴∠DAP∵在=∠ABCD中,AD∥
Y
.DEA
BC,
P
.DAP=∠PAB∵AE平分∠DAB, ∴∠
EFDC
. BP. ∴AB=∴∠APB=∠PAB.
M
BF.,
即AE⊥ABC, ∴AP⊥BF∵BF平分∠
AB
CE,是相等关系,即DF=(2)线段DF与CE
8-3
=∠EAB中,CD∥AB∵在,∴∠ABCD .DEA=∠DAE=∠EAB. ∴∠平分∠又AEDAB, ∴
∠DAE BC..同理可得 ∴CF=∴DE=AD
Y
.=CF=BC,∴DE又∴在中,ABCDAD
--
CE.EF,
即DF∴DE= EF=CF【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、
等腰三角形的 2) 问也是一道开放性试题.性质等知识的综合应用,同时本题的第(绕,若将△
ABCAB=AC已知如图 (3 8-4),在△ABC中,例
A
顺时针旋转
180°

°得到△FEC.180点C
与BF有何关系?说明理由;(1)猜想AE
EBC
2
的面积;,求四边形)若△ABC面
积为3cmABFE(2
8-4
ABFE为矩形 ?说明理由.3()当∠ACB为多少度时,四边形
F
,其实旋转
变≌△FCB【分析 】根据图形旋转的性质可证△ACE
Y
ABFE
为矩形,可考虑证明C成中心对
称;欲判断关于点换后,△ABC与△FEC 的度数.,再探求∠ACB=对角线AFBE ,ACE=∠
BCFCECF1()旋转可知,AC=,BC=,∠【解】 .ABF=∠EAF,∠BF=AE∴ ,FCB≌△ACE
∴△.
的关系为平行且相等. 即AE与BF∴AE∥BF.
SSS?S?
2)由(1)知:CE,∴..又∵BC=

ACEVVBCFVVACEABC2
)cm4?12(S?3?
SS?
..∴同理,
BCFVCEFVABFE四边形
60°时,四边形ABFE为矩形.(3)< br>当∠ACB=ABC=60°时,△=CF,∴四边形ABFE为平行四边形.当∠ACB,理由:∵BC =CEAC
为矩形.,∴四边形ABFEBC为等边三角形.∴=AC,∴AF=BE《新课标》在四 边形内容中加
强了与对称、平移、旋转几何变换的联系.本题【说明】以两图形成对中心对称的特性为背 景设
计,结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断 进行考查.教师在复习时要加强几何变换中识
图能力的训练. .)所示的四边形ABCD例4 将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图
(8-5 是菱形;)求证:四边形ABCD(1的周长 那么菱形ABCD)如果两张纸片的长都是8,宽
都是2.2(
DC
请请求出来;如果 不存在,是否存在最大值或最小值?如果存在, 简要说明理由.
AB
的数量关系,依据有一组 邻边相AD、AB【分析】第(1)题寻求)题,动手实验操作寻求等的
平行四边形是菱形进行判别;第 (2
8-5
①互相垂直;②对角线重合时,探求两矩形纸片的特殊位
置关系. ABCD周长的最大值、最小值.菱形 DC,AD∥BC,∴AB∥【解】(1)如图(8-6),
∵ ABCD为平行四边形.∴四边形,E⊥AB,垂足为点F、BF分别过点B、D作⊥AD,DE
DC< br> .则
DE=BF
F
AD=AB.BAF,∴Rt△DAE≌Rt△,∴BAF∵∠DAE=∠
AEB
是菱形.∴四边形ABCD )
存在最大值和最小值.(2
8-6
周长最小值为正方形 ,°时,菱形ABCD①当∠DAB=90
DC
8为; 8-7),
AC为矩形纸片 的对角线时,设AB=x,如图(②当
AGB
17
222
2?x)?x(8?
?x
中,,.△在RtBCG

4
8-7
17.∴周长 最大值为【说明】本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定
理及函数的综合 应用, 考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力.BC⊥,
DEABCD中,AD∥BC ,已知梯形 例5如图(8-8)
AD
ABCD求梯形°.∠°,ACB=3045DBC,< br>=,于点EDEa∠= 的面积.梯形问题一般通过添加辅助线转化为平行四边形和【分析】
CEFB8-8.

特殊的三角形问题解决. F.∥作DFAC,交BC的延长线于点【解】方法一:过D
SS?SS?

即.易 知:
BDFVDCFVVABDABCD梯形
∴∠=45°,∴BE=DE=
11
a?3EF

∴a.又DE=EF·tan.F,DBE∵∠DBC=45°,

2
aDE?(1?3)(BE??S?SEF)g
∴ .

BDFVABCD梯形
22
,⊥
BC于H)方法二:如图(8-9,过点A作AH
DA
, DE=a.45°,∴

a3HC?
则AH=DE=a,
∠DBE=45° ,∴BE==∵∠DBC
CEBH8-9
1DE?BC)S??(AD
?

ABCD梯形

21
??
DE)??(BH?HE?? ?ECHE


211

2
a3)(1HC)?DE?? ?(BE?


22
【说明】方法一:平移腰是研究梯形问题常用方法;方法二:通过作梯形高转化已知条 上述
两种解法同样运用了梯形中常见的辅助线的添加方法,渗透了转化的思想.件求解; .BC=10,
=3ABCD中,AB∥CD,AB<CD,AB 例6已知在等腰梯形 的长.DMC =∠A,求AM(1)如果
M为AB上一点,如图(8-10),且满足∠交=∠A,MN,边上移动( 点M与AB不重合),且满足
∠DMN)如果点(2M在AB的函数解析式,并写y关于x=x,CN= y,求,设BC延长线于点N,
如图(8-11)AM 的取值范围时,不写推理过程).x出x的取值 范围(写
BMAMBA
321
CCDD8-10N8-11

边上 移动,运动变化中寻求基本图形,探究出蕴含不变的关系:ABM在【分析】点

的数量关系.解题与x∽△BMN,通过相似比的转化找出y△ADM∽BMC、△ADM AB上的两个特殊位置与
自变量取值范围的联系.应注意点M在 ,=∠BCD中,∵AB∥,∴∠AABCD【解】(1)在等腰
梯形 180°,3∠2+DMC+∠==∠∠A1+DMCA又∵∠=∠,∠∠+2

.BMC∽ADM,∴△3=∠
1∴∠.

x3
2
x?10x?9?0
?
设AM=.,∴ x,则

x310?9x?1x?
9∴.AM的长为或1或,经检验

都是原分式方程的根.∴
x3?
,.可得 (2)同理可证△ADM∽△BMN
3?y10?x
110
2
x??x?3y?
(1<x. <9∴)

33
【说明】这是一道集等腰梯形、方程、函数、
相似形于一体的综合性试题,三角形 相似的性质、方程的思想方法是解决该类问题的重要途经.
【复习建议】
1.关注中考热点,聚焦考查难点
四边形这部分内容中考中常以填空题、选择题、证明题、 计算综合题、探究操作题的形式呈现,
重点考查平行四边形及特殊平行四边形的性质在实际中的应用、梯 形问题及多边形问题的研究方
法,还会考查学生的动手操作和实践创新能力,识图、分析、灵活运用几何 知识解决实际问题的
能力及探索、发现问题的能力,本章内容复习时重点关注一类通过实验、操作探究出 简单的几何
结论后,再加以证明的新题型,寓意在于揭示四边形在运动状态下几何关系的不变性.
2.加强知识间的相互联系,提高综合应用能力
平行四边形的性质与判断是本章内容的重点 ,它是菱形、矩形、正方形的基础和铺垫.复习时要
注意梳理知识间的衔接与过渡,掌握平行四边形、菱 形、矩形、正方形的之间的区别与联系,基
础知识不能忽视,复习训练时注意运用特殊四边形的面积公式 解决图形的面积计算问题(含应用
问题),注意结合平移、翻折、旋转等几何变换,并能根据现实几何情 境的需要能进行恰当的操
作、说明和逻辑推理,并通过用文字语言的表述进一步深化对四边形的理解,进 一步提高学生的
综合能力和数学素养.
3.注重数学思想方法渗透,发展合情推理能力
四边形与三角形都是平面几何的基本图形,复习时可通过将多边形分割,将四边形问题转化为
三角形问题,运用平移、对称的有关知识将梯形分割成三角形、平行四边形等熟悉图形,启迪学
生在实 际问题的转化过程中要善于多角度寻求解决问题的途经,筛选简捷的解法、积累解决问题
的策略.复习中 多关注生活中四边形与特殊四边形图案在实际问题情境中的应用,培养学生从现
实生活中抽象为数学模型 的本质特征,体验数学建模思想.多关注中考中不断出现的以特殊四边
形为背景设计与三角形、相似形、 圆、方程、函数等相结合的综合题,通过解题要善于总结反思,
正确认识特殊与一般的关系,注意方程思 想、对称思想以及转化思想的渗透,形成知识间的网络
结构,达到融会贯通,明了通性通法,进一步学会 多角度分析、探索问题的本质、学会思考、学
会思维,进一步发展学生的合情推理能力.

华北电力大学专业-淮阴师范大学


琵琶行课文-徐州工学院


亚洲地形以什么和什么为主-笑死不偿命


增强记忆力补脑的食物-水晶认主人的表现


药学专业就业方向-行书基本功


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