初中三角函数公式圆面积公式推导设计设计理念

设计理念：
杜威主张“从做中学”。他认为，“在做事里面求学问”，比“专靠听来的学 问好得多”。使儿
童从做中学，即从那些真正有教育意义和兴趣的活动中进行学习，那也许标志着对于儿 童一生有益的
一个转折点。杜威主张“从做中学”，强调学习者个人的直接的主观经验，提倡学生的个人 探索，重
视知识的学以致用，培养学生的实际操作能力。同时，他一直认为小孩子不是什么都懂得的，富 于经
验的教师，不仅有权力，而且有义务在学习中帮助学生，不过他坚持在师生共同参与的活动中，无论
教师和学生，愈少意识到自己在那里施教或受教愈好。
我在设计这节课时，尝试体现这一 思想，老师作为孩子学习的参与者，合作者和指导者，力求为
孩子做好知识、思想的铺垫，然后给孩子提 供充分的探索空间和动手操作，合作交流的空间。让孩子
自己经历知识的形成过程，获得有益的体验。
学情分析：
学习此知识之前，学生已初步认识了圆，理解了面积的含义，并且掌握了 长方形、正方形、平行
四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，因此学习圆的面积公式推导过 程时只需要教师启
发、点拨学生依然从转化的思想入手，将圆转化为已学过的图形进行计算，然后通过等 量代换得到圆
面积公式。
教学内容：人教版六年级上册圆的面积，公式推导的拓展。
教学目标：
1．学生通过观察、操作、分析和讨论，推导出圆的面积公式。
2．能够利用公式进行简单的面积计算。
3．渗透转化思想，初步了解极限思想，培养学生的观察能力和动手操作能力。
教学重难点：使学 生进一步体会转化的方法的价值，培养学生运用已有知识解决实际问题和合情
推理的能力，培养空间观念 ，并渗透极限思想。
教、学具准备：
1．CAI课件；
2．把圆8等分、16等分和5等分的硬纸板若干个；
3．剪刀若干把。
教学过程：

一、 复习引入(9分钟)

1、课件演示，无数个点累积成一条线。无数条线可以累积成一个面。
师：请看大屏幕，通过观察，你想到了什么？
师：继续看，又想到了什么？
通过观察，向学生渗透微分的思想，知道“点、线、面”的关系，提高学生的空间想象力。
2、 师：今天，我们要继续研究与圆有关的知识。请大家想一下，什么是圆？
生可能会说，圆是由一条曲线围成的封闭图形 课件出示，椭圆形。
师：大家请看这是什么图形？（生：椭圆形。）它也是由一条曲线围成的图形啊？
生发言
师：到底怎样描述，才准确呢？生发言
师边揉绳边说：圆是当半径绕一个端点旋转一周时，另一个端点形成的轨迹。
课件演示...
通过教具演示，课件演示，使学生明确，圆的定义。
3、 师：知道了圆的定义我们再来想想，圆的面积指的是什么？
生：圆所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。
师：是不是就是这么大！课件演示
师：同学们想一想，圆可以看做由什么样的线累积而成的呢？
生发言，师根据学生的发言，及时调整课件顺序。
①圆的面积，可以看做由无数条半径累积而成。 ②圆的面积，还可以看做由无数个同心圆的周长
线累积而成。③包饺子用的盖垫（课件演示）
使学生明确圆也是一个由无数条线围成的图形，为最后同心圆的线转化成三角形做铺垫。

二、 探究拓展（29分钟）

1 师：今天我们要继续研究圆面积公式的推导。大家想一想，圆的面积公式是什么？
生：S=πr×r(板书)
2 师：对！同学们，上节课我们是怎样推导出的圆面积计算公式？
生：把圆转化成长方形或平行四边形。
3 师：推导圆的面积公式时我们用到了一种重要的数学思想？（转化）（板书）
4 师：同学们想一想，圆除了转化成长方形和平行四边形，还可以转化成学过的哪些图形？
生回答，三角形、梯形。
5 师：这只是大家的猜想啊！你想验证一下吗？是否真的能推导出圆的 面积公式啊！好，下面就
和小组同学一起剪一剪、拼一拼，按操作要求，把圆转化成一个已学过的图形， 推导圆的面积公式。
操作要求：1 把圆转化成一个已学过的图形。
2 找一找圆和转化后的图形，各部分之间的关系。
3 验证你转化后的图形能否推导出圆的面积计算公式。
6、 小组合作，操作推导，代表汇报
师：哪个小组来展示一下你们组的研究成果。

生1：我们组把圆转化成 一个近似的三角形，三角形的底相当于圆周长的四分之一，三角形的高
相当于圆半径的四倍，三角形的面 积等于底乘高除以2，所以圆的面积等于，圆周长的四分之一乘
4r，除以2，也等于πr的平方。
生2：我们组把圆转化成一个近似的梯形，梯形的上底加下底的和相当于圆周长的二分之一，梯形的高相当于圆半径的2倍，梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以2，所以圆的面积等于，圆周
长的2分之一乘2r，除以2，也等于πr的平方。
生3：我们组把圆转化成一个这样的近似的平 行四边形，平行四边形的底相当于圆周长的四分之
一，平行四边形的高相当于圆半径的2倍，平行四边形 的面积等于底乘高，所以圆的面积等于圆周长
的4分之1乘半径乘2，也推导出S=πr的平方。
7 师小结：
大家今天的表现太精彩了。用这么多种方法，把圆转化成了其他平面图 形，再次推导出了圆的面
积计算公式S=πr×r。
8 师：同学们想一想，如果把圆等 分的份数越多，拼成的图形会怎么样？（生发言）我们以转化
成近似的长方形为例。书上是把圆等分成3 2份拼的，那如果我们等分成64份，会怎样呢？
（课件演示）等分64份，学生观察，说发现。 让学生说份数，老师课件操作，128份，256份，
998份。学生观察说发现。
师：是啊！分的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形。
9 拓展
师：咱班同学真是太聪明了！请同学们再开动脑筋想一想，把圆转化成平面图形还有其他方法吗？

生3：我们组把圆等分成了16份，取其中的一份，也就是圆的16分之1，大家看，这一份小扇< br>形，其实已经非常接近一个小三角形了，求出这个小三角形的面积再乘以16，就是圆的面积。这个
小三角形的底相当于圆周长的16分之1，高相当于圆的半径，16个小三角形面积等于圆周长的16
分之1乘半径除以2再乘16，也推导出S=πr的平方。
师：这个方法太棒了！你们认为呢？生 发言。它很简单，不用拼，先算出其中一份的面积再乘份
数就得到了整个圆的面积。化繁为简，真巧妙！
10 师：那还有别的方法吗？【停顿一下】你们还想知道吗？（想）【课件演示、同心圆】请大
家仔细观察
①师：这是无数个同心圆的周长线累积成的圆面。如果沿这个圆的半径剪开，把这些周长一根根拉直排整齐，看，能拼成了什么图形？（近似的三角形）和你想的一样吗？

用这个三角形能推导出圆的面积计算公式吗？咱试试。
生：三角形的底相当于圆的周长，三角形的 高相当于圆的半径，三角形的面积等于底乘高除以2，
所以圆的面积等于，圆周长乘r，除以2，也等于 πr的平方。【师板书】
②师：瞧！这样也能把圆转化成三角形，推导圆的面积公式。大家看到我 这种方法，你又想到了
什么方法？【课件演示】如果沿直径剪开呢？想想，能拼成什么图形？和你想的一 样吗？（拼成2
个三角形。）（菱形）（平行四边形）你能用这两个三角形的面积推导圆的面积公式吗？ 试试！

生：三角形的底相当于圆的周长的一半，三角形的高相当于圆的半径，三角 形的面积等于底乘高
除以2，所以圆的面积等于，圆周长的一半乘r，除以2，再乘2，还是πr的平方 。【师板书】
（有的学生可能还想尝试把圆转化成正方形，可以让学生下课尝试实验，会发现，圆 是无法转化
成正方形的。因为圆的周长是它半径的6π倍，无论如何，也无法使相邻的两条边长度相等。 ）
11 师：同学们，看到了吗，条条大路通罗马啊！只要你努力，一定能找到更多的方法，把圆 转
化成其他平面图形，推导圆的面积计算公式。
12 师：回想今天研究的这些方法，你认为哪种方法最好？为什么？

三、 全课小结（2分钟）

师：通过今天的学习，你有什么收获？
生：今天我们都是应用转化的思想，把圆转化成其他图形，推到面积公式。
师：对！可，为什么要 转化呢？（生回答）【师边做手势边小结】圆是曲线围成的图形，我们把
它转化成三角形、梯形、平行四 边形、长方形，都是线段围成的图形。这是数学上一种重要的思想
---------【课件出示、化曲 为直】。
再看，转化时，我们把圆分的份数越多，拼得的图形就越（生，接近于线段围成的图形） ，这在
数学上叫做---------【课件出示、微分】。
这节课大家又一次，使用了 剪拼等方法把圆转化成了其它图形，从而推导出了圆的面积计算公式
S=πr的平方。同学们运用智慧解 决了问题，收获了成功。