球体表面积公式圆面积公式推导中的误差问题

善 待 “ 误 差 ”
安徽省泾县黄村镇中心小学 佘江华
安徽省泾县教学研究室 沐昌茂
课改以后，测量、实验等操作性的探究活动在小学 数学课堂上已屡见不鲜了，然而，
误差的存在却使得探究活动曲折艰难，如何避免误差的干扰甚至让误差 为我所用呢？下
面结合用数方格的方法探究圆面积与它的半径平方的比值谈一谈粗浅的看法。
苏教版《数学》五年级（下册）中的“圆的面积”的例1是用数方格的方法研究圆
面积与圆半径的数量关 系。前不久，恰好听了一位教师执教的这一节课，发现了其中的
一些问题。
教学时，教师分阶段让学生根据教材中的三个图进行了操作，



（图一） （图二） （图三）
学 生用数方格的方法（满格为1平方厘米，不满1格以0.5平方厘米计算）数出
1
4
个
圆的面积和正方形面积，再用整圆面积除以正方形面积。教师本来设想通过数方格，使
学生发现 “圆的面积比它半径平方的3倍多一些”。然而，实际操作中,学生数出的这三个
1
4
圆的面积、正方形面积以及其它相关数据如下表：

图1（3×3正
方形）
1
4
图2（4×4
正方形）
11.5cm2
46cm2
16cm2
2.875
图3（5×5
正方形）
18.5cm2
74cm2
25cm2
2.96
圆的面积
6.5cm2
26cm2
9cm2
2.889
整个圆的面积
正方形的面积
圆面积正方形面积
从表中可以看出，所得到的三个比值连3都不到。这一尴尬局面的出现，使 得执教
教师一时不知所措，只能要求学生重数，并规定“非常接近满格的看成满格计算”。由此
再得出下表：

1

图1（3×3正
方形）
1
4
图2（4×4
正方形）
12.5cm2
50cm2
16cm2
3.125
图3（5×5
正方形）
19.5cm2
78cm2
25cm2
3.12
圆的面积
7.5cm2
30cm2
9cm2
3.333
整个圆的面积
正方形的面积
圆面积正方形面积
在师生的共同努力下，从而得出“圆面积是半径平方的3倍多一些”这一比 较接近“理
想”的结论。
课后，我反思了以下两个问题：
1、能否强硬规定把非常接近满格的看成一格来数？
用数方格来计算图形面积是在推导长方形 面积公式时开始使用的方法，在后来推导
平行四边形面积公式、三角形面积公式、梯形面积公式时，一直 都是遵循“满格看成一
格，不满一格看成半格”的方法。实践证明，这种方法是行之有效的，是科学的。 现在
仅仅是因为不能得出“圆的面积比它半径平方的3倍多一些”，在没有任何科学依据的情
况 修改这种方法，这种做法显然是削足适履，其结论也是值得怀疑的。
为什么用原来一直行之有效的数方 格的方法来探究圆面积与半径平方的关系时，会
出现这一始料未及的情况呢？怎样规避这一尴尬局面的出 现并顺利的得到令人信服的结
论呢？
我认为产生这一始料未及局面的原因是“误差”在作祟。 在探究圆面积与圆半径平
方的关系过程中，由于大正方形分成小正方形的个数太少，再则圆是曲线图形， 在分割
过程中，不满格的小正方形之间的阴影部分既不互补，又无规律，2n个看成半格的小正
方形面积相加后并不等于n个小正方形的面积和，而是略小于（或略大于）n个小正方形
的面积，这样得 出的面积数必然不准确。案例中的三个图正是由于用数方格的方法得出
的阴影部分面积小于实际面积较多 ，才出现了比值过小的结果。如果把大正方形分成小
正方形的个数多一些，这种情况就会有较大的改观。 为了研究这个问题，我先后以6×6、
7×7、8×8、9×9、10×10正方形进行了相同的探究， 得到圆面积分别约等于圆半径平
方的3.056倍、2.979倍、3.0625倍、3.0864倍、 3.08倍。由此可以看出，用数方格的方

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法探究出“圆面积是半径平方的3倍 多一些”是没有必要把“非常接近满格的小方格看
成一格”的。
那么案例中为什么会出现这一 反常的做法呢？一是因为教材选用的三个图不合适，
学生的探究均因为这三个图误差太大而无法得出令人 满意的结果。二是因为教师依赖于
教师用书，缺乏自身的思考。（课后，我们通过调查才知道，把“非常 接近满格的小方格
看成一格”不是这位教师的首创，而是因教师用书上清楚地写着这一条。）
2、如果不把非常接近满格的看成一格来数，怎样顺利地进行教学？
在进行测量、实验等动手 操作的探究活动中，误差总是不可避免的。面对误差，是
设法避免还是充分利用，代表着两种不同的教学 思想。我们认为既然教学以学生为主体，
要联系学生的已有知识经验，而误差又确实是客观存在的，那么 我们就应该让学生认识
到误差的存在，并让学生初步理解和掌握减小误差的方法。为此，我们对案例进行 了修
正，考虑到探究过程的复杂性和课堂教学时间的有限性，我们采用了分组探究。探究分
成两 个步骤，一是把全班学生分成了8个探究小组，出示了从3×3到10×10一共8个
正文形与圆的组合 图，每组学生从中任选两个图(一个图为3×3到6×6中的一个，另一
个图为7×7到10×10中的 一个)进行探究。二是在学生探究基础上，填写包含8个图有
关数据的表格，并对其进行分析。通过分析 ，学生不仅得到了“圆的面积比它的半径平
方3倍多一些”的结论，而且明确了把正方形分成的格子越多 ，得到的比值就越精确；
不仅认识了误差，而且初步懂得了设法减小误差的重要性及如何减小误差。这样 ，就可
得出一个令学生信服的结论——由于误差的存在，用数方格的方法是很难得出圆的面积
与 它的半径平方的比值的精确值的。在此基础上，教师以“这个精确值到底是多少呢？
让我们进行下一个实 验。”过渡到例2的剪拼实验。这样的过渡不仅自然，并且极大的调
动了学生进行下一个实验的热情。
总之，面对误差，我们不应回避，也无法回避。关于操作性的探究，我们应首先进
行操作，了解 误差产生的原因。在此基础上，带领学生直面误差，充分发挥学生的主体
作用，努力采用多种方法尽可能 减少误差。这样，学生就可以在不断减小误差、努力探
究结果的精确性的过程中，不断提高动手能力，分 析能力和逻辑思维能力。

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