溶解度公式极限思想方法在圆面积公式推导中的运用

极限思想方法在圆面积公式推导中的运用
[摘要]数学思想方法在培养学生创新思 维意识、探究能力和动手操作方面是
不可或缺的重要环节。数学思想方法在小学教学中理应得到重视，而 数学教师要
把所教的内容放在更为深广的学术背景上。本文尝试以圆面积公式推导为例阐释
的极 限思想在初等数学教学中的运用，旨在与广大数学教师进行商榷。

[关键词]数学思想方法极限思想 小学数学教学



数学思想 是指现实世界的空间形式、数量关系及其模式结构反映在人的意识
中，经过思维活动而产生的结果。数学 思想是系统化、理论化、理性化了的数学
知识，是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律性的理性 认识。数学方法
是指人们解决数学问题的步骤、程序和格式，认识世界、实施数学思想的技术和
手段。国际数学教育委员会的研究成果指出：“在内容的选择中，人们必须想到
的不仅仅是我们希望学生 获得的知识，而且要想到跟那些题目结合在一起的思想
方法”，这种数学修养，更适合目前的需要。当代 国际数学教育的发展正倾向于
使学生在掌握所要求的数学知识的同时形成对人的素质有作用的数学思想方 法。

数学思想方法在培养学生的创新思维意识、培养学生的探究能力和动手操作
方面是不可或缺的重要环节。小学数学的圆面积公式的推导中，由于学生身心发
展的特点，没有指出也没 有必要向小学高年级的学生直接指出其中运用了极限思
想。但是，作为教师必须站在更高的高度。不仅知 其然，而且要知其所以然。或
许，有人认为教师只要熟悉自己所教的内容就可以了，没必要高深的学问。 这是
一种肤浅的看法。对于教师而言，对其所教的内容不仅要知其然，而且要知其所
以然，要把 所教的内容放在更为深广的学术背景上，这样才能全面理解所学内容
的价值和意义，才能致其左右而逢其 源。

极限是微积分中最重要和最基本的概念，极限思想是微积分的基本思想。所
谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某对象在无限变化过程
中变化结果的思想。它来 源于对过程无限变化的考察，而这种考察总是与某一特
定的、有限的、暂时的结果有关。因此，它体现了 “从有限中找到无限，从暂时
中找到永久，并且使之确立起来的一种辩证思想。纵观微积分的全部内容， 极限
思想、方法极其理论贯穿始终，是微积分的基础。

定积分的概念是一系列诸 如面积、体积等几何问题和变力做功等力学问题中
提炼出来的，这个问题归为求和式，即计算一个求和式 的极限。






作为所求的近似值，并以σ的极限





数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和
理论，并进行广泛应用的过程。 数学是一种人类活动，数学学习与其说是学习数
学知识，倒不如说是学习数学的思维活动。日本数学家米 山国藏认为，对学生而
言，作为知识的数学，通常是出校门后不到一两年很快忘掉了，然而，不管他们< br>从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑的数学精神、思维方法、研究方法、推理
方法和着眼点等都 随时随地地发生作用，让他们受益终生。

数学思想方法则有十分广泛的普遍意义，即其不 仅可以被用于数学的研究，
而且可以被用于人类实践活动的各个方面，数学学习方法显然应被看成义务教 育
阶段的根本任务，在数学课程中有充分的体现。尽管国内外的一些著作对现代数
学思想方法进 行了论述，但是他们的着眼点都是整个数学领域，很少从中小学数
学教学的角度进行梳理和阐释，尤其是 用高观点来俯瞰整个数学教学领域很少涉
及。

我们设计圆的面积公式推导的一个 教学片段，使学生体会“化曲为直”的思
想，初步感受极限思想。

圆的面积

1.引入课题

师：“我们已经知道圆的周长的计算方法。但如果要求圆的面积，你知道怎
么算吗？”

师：“谁能说说，圆的面积指的是什么？”

圆所围成的平面图形的大小叫做圆的面积。

圆的面积究竟该怎么计算呢？

师：“今天，我们就来研究圆的面积。”（板书课题：圆的面积）

2.猜测求法

我们知道圆的半径越大，面积也越大。我们可以猜测，圆的面积和 半径的大
小可能会有某种关系。如果有某中关系，那到底又是什么样关系呢？圆的面积有
什么科 学的计算方法吗？


师：“平行四边形的面积计算公式是什么方法推导出来的？三角形、梯形的
面积呢？”

（用割补法推导，即把平行四边形的面积转化为求长方形的面积，而把三角
形的面积 和梯形的面积又是转化成平行四边形的面积推导出来的。）

设计意图：这里实际上体现了 化归的思想。化归是解决数学问题的一般方法，
其基本思想是人们在解决数学问题时，常常将待解决的问 题A，通过某种转化手
段，归结为另一类问题B，而问题B是较容易解决或已有固定解决程式的问题，< br>且通过B问题的解决可得到原问题A的解答。在这里，我们不进一步展开探讨。

想：“圆面积公式可用什么方法来推导呢？”

“是不是可把圆转化成学过的图形推导出圆面积计算的方法来？”

“怎么推导呢？”

割补法





把一个圆平均分成16份。那么每一份都是一个小扇形。近似一个小等腰三
角形。它 的底等于圆周长的116。它能不能拼成已经学过的图形呢？（如平行四
边形、长方形、梯形或三角形， 而其面积保持不变。下以平行四边形为例加以说
明。





设计意图：学生动手操作结果不一，反映了学生思维角度不一样。极限意识
的渗透能 促使学生正确的“转化”思想——圆形转化为平行四边形。

分成n等份。





圆的面积等于近似的平行四边形的面积。

如果把这个圆继续分下去，如分成32等份拼成的图形会怎么样？






我们可以看见，拼成的图形会更接近平行四边形。
如果，把这个图形继续分下去，如64等份，128等份，256等份……，以至
无穷。一直这样分 下去，拼成的图形又会越来越接近什么图形？会越来越逼近平
行四边形。圆面积也就越来越逼近平行四边 形的面积。

而这个拼成的平行四边形又该怎么算呢？

如果圆的半径为r，那么，这个平行四边形的底边a=2πr÷2=πr，高为r。





在教学中，也可由学生自己把圆进行分割，拼成一个近似的 长方形。在操作
的基础上，分析原来的圆和拼成后的图形各部分的关系，推导出圆面积的计算公
式。教学时，教师要重视学生的实际操作活动，给学生时间更充足些，让学生通
过猜测、操作（剪拼圆纸 片）、观察、验证、讨论、归纳的方法推导和探索圆面
积的计算公式。我们也可利用计算机演示，化静为 动，激发学生想像，帮助学生
把抽象的“极限思想”具体化，加深学生圆面积公式推导的认识。

设计意图：引导学生通过割补的方法把圆的面积转化为近似的平行四边形，
与学生一 道推导圆面积计算公式。虽然，由于学生的年龄特征，教师在教学中不
直接与学生讲“极限思想”，但整 个教学过程中无疑是体现和蕴涵了“极限思想”。

这里运用“无限分割”的思想方法，同 时也体现了“化曲为直，化整为零，积
零为整，逐渐逼近精确值”的教学思想。具体地，我们在这里求圆 的面积，是先
将圆分割成许多同样的小扇形，再拼补成一个近视矩形，当圆分割成的扇形分份
数 增多时，每个小扇形的曲边就会逐渐变直。所以，拼成的图形就越接近平行四
边形。当圆分割成的小扇形 的份数无限多时，所拼成的图形便转化成平行四边形，
从而就可以准确地求得圆的面积。体现的方法就是 在小范围内“化曲为直”，所用
的思想就是极限思想。

作为数学思想是数学知识 、数学方法的精髓和灵魂，其运用和发展有助于知
识得到优化，有助于理性认识迅速构建，有助于将知识 转化为能力。笔者认为，
研究现代数学思想在小学数学教学中的渗透和应用是很有意义和价值的。




参考文献：

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[3]陈纪修，於崇华，金路.数学分析第二版[M].北京：高等教育出版社.

[4]孔企平，张维忠.数学新课程与数学学习[M].北京：高等教育出版社.