高考数学公式微积分、极限思想推导圆周长、面积公式

圆周长公式推导
1.积分法
在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2
这可以写成参数方程
x = r * Cos t
y = r * Sin t
t∈[0, 2π]
于是圆周长就是
C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt
（Q:此处x,y对t为什么都要导？
A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△
y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的
长度Cn= √(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就
是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果
是一样的，但原理方面就解释不通了.）
=∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt
=∫(0到2π) r dt
= 2πr


2.极限法
在圆内做内接等n边形，

求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，
其底边长为 2*r*sin(πn) ，所以等n边形周长为
n*2*r*sin(πn)

这个周长对n→∞求极限

lim[n*2*r*sin(πn)]

运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x

所以lim[n*2*r*sin(πn)] =lim[n*2*r*πn]=2πr.




圆面积公式推导
应用圆周长C = 2π r
1. 可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形
并展开，在拼 接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为
r的矩形。这是小学的推导法，但有微积 分的思想在其中。



2. 积分法
可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，
为自变量.设 每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这
些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R.
所以S=2π[12(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法
Shell Method”与此法是类似的.)



不应用圆周长C = 2π r
1. 积分法
(1) 圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法
和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述.

(2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. Cn=√(△x^2+△y^2)=
√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )，每份Cn与两条半径组成的扇形的底面曲< br>边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以Cn为底、r为高的等边三角
形，每个面积就是r * Cn*12=12*r*√(△x^2+△y^2)=
12*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).
于是圆的面积就是
S=∫(0到2π) 12*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt
=12*r*∫(0到2π) √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt
=12*r*C
=12*r*2πr
=πr^2.


2.极限法
类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形，

求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，
根据正弦定理，其面积为 12*r*r*sin(2*πn) ，所以等n边形面积为
n*12*r^2*sin(2*πn)

这个面积对n→∞求极限

lim[n*12*r^2*sin(2*πn)]

运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x

所以lim[n*12*r^2*sin(2*πn)]
=lim[n*12*r^2*2*πn]=πr^2*π.