关键词不能为空

当前您在: 主页 > 高中公式大全 >

魔方公式口诀圆、扇形、弓形的面积

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-08 18:56
tags:圆的面积公式

河北会考成绩查询网站-人力资源管理认证


圆、扇形、弓形的面积
【重点难点解析】
重点是圆面积,扇形面积、弓形面积公 式,要能运用它们解决有关圆的面积、扇形面积、弓形
面积的计算与证明问题.
难点是扇形面积公式的推导,要理解圆心角为1°的扇形的面积等于圆面积的 ,圆心角为
n°的扇形面积及于圆面积的
【基础知识精讲】
一、基本公式
1.圆的面积:S=πR
2
即 ,注意:公式中的n没有单位.
2.扇形面积:S
扇形

3.弓形面积:
= lR
①弓形所含弧为劣弧时 S

=S

-S


②弓形所含弧为优弧时 S

=S

+S


③弓形所含弧为串圆时 S



二、值得注意的问题
S


1.扇形面积公式中的n与弧长公式中的一样,不带单位.
2.对于一些没有面积计算公式的几何图形,可采用割补法,转化为学过的几何图形的面积和或
差.对于 弧形部分,一定要分清圆心和半径.

典型例题
〔例1〕已知如图7-65,PA 切⊙O于A,PO交⊙O于C,且CP=CO,弦AB∥OP,⊙O的半径为2,
求阴影部分的面积.

图7-65
解:连OA,OB
∵PA为⊙O切线,∴OA⊥AP
∵OA=OC=CP= OP
∴∠OPA=30°,∴∠AOP=60°
∵AB∥OP,∴∠OAB=∠AOPB=60°
∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形
∴∠AOB=60°
∴S
扇形OAB
= =
∵AB∥OP,∴S
△ABP
=S
△AOB

∴S
阴影
=S
扇形OAB



〔例 2〕已知:如图7-66⊙O的半径为R,直径AB垂直于弦CD,以B为圆心,以BC为半径作⊙B
交 AB于点E,交AB的延长线于F,连结CB并延长交⊙B于点M,连结AM交⊙O于N,(1)求两
圆 公共部分的面积S.(2)求证AM·AN=2AE·AF

图7-66
(1)解:连结BD
∵CD为⊙O直径 ∴∠CBD=90°
∵CD⊥AB,OC=OD ∴CB=DB
在Rt△CBD中,CD=2R
∴BC=CDcos45°=2R· = R
∴S= S
⊙O
+S
弓形CDE

= πR+〔
2
2
π( R)-
2
( R)〕
2
=(π-1)R
(2)证明连AC
∵AB为直径 ∴∠ACB=90°
∵BC为⊙B半径 ∴AC为⊙B的切线
∴AC=AE·AF
∵OA=OB ∴CA=CB
∵MN·MA=MB·MC=BC·2BC=2BC=2AC
∴AM·MN=2AE·AF
22
2
〔例3〕已知:如图7-67,⊙O的 长l是半径R的 π倍,AC,BC是方程-2x-(m-1)x+m+1
2
=0的根,OC= 1,求弓形AmB的面积.

图7-67
〔解〕延长线段OC交⊙O于E,F,作OG⊥AB于G,
∴GB= AB
l= = R,∴n=130,∴∠AOB=120°∴∠GOB=60°
在Rt△OGB中,sin∠GOB= ,
∴GB=R·sin60°= R
∴AB= R,又cos∠GOB= ,∴OG= R,
∴S
△ABD
= AB·OG= × R× R= R
2
.
∵AC、BC是方程-2x
2
-(m-1)x+m+1=0的根,
∴AC·BC=-
AC+BC= .
又∵AC·BC=CE·CF=(R-OC)(R+OC)
=R
2
-OC
2
=R
2
-1 ③
AC+BC=AB= R
∴由②,④得 R=
由①,③得R
2
-1=-
解方程组 R=
R
2
-1=- 得R=
∴S
△ABC
= R
2
= ·S
扇形OAmB
= =π
∴弓形AmB的面积=S
扇形OAmB
-S
△OAB
=π- (平方单位).






〔说明〕此题是一道代数几何综合问题,解决此题的关键是求出⊙O的半径,综合分析题的图形
与已知 条件,寻找与半径有关的式子,发现AC+BC=AB,AC·BC=CE·CF,而AB及CE·CF都与半径与关,再由题已知方程的根与系数关系,找到含R的方程组,从而求得R.

〔例 4〕如图7-68,已知半径为3cm和1cm的两个圆,⊙O
1
和⊙O
2
外 切于点P,AB是它们的一条
外公切线,切点分别为A,B,QP垂直于O
1
O
2
于P交AB于Q点,连O
1
Q和O
2
Q,求:图中阴影部
分面积.

图7-68
〔解〕连O
1
A,O
2
B可求得外公切线长
AB=2 =2 (cm)
∵QP⊥O
1
O
2
,∴QP是⊙O
1,⊙O
2
的内公切线,
由切线长定理知AQ=QP=QB,
∠=O
1
QO
2
= ∠AQB=90°.
∴QP= AB= (cm)
在Rt△QO
1
P中,tg∠QO
1
P=
∴∠QO
1
P=30°,
∴∠QO
2
P=60°
= ,
∴S

=S -S -S = O
1
O
2
·QP- -
= ×4× - π- =2 - π(cm).
2
〔说明〕此题就是将一个不规则图形的面积化归为几个已学过的图形面积的和差形式.
练习
一、填空题
1.扇形的弧长是2πcm,半径是10cm,则此扇形的面积
是 .
2.圆心角为n°,面积为S的扇形的半径是 .
3.如果圆的周长是π,则圆的面积是 .
4.如 下图7-75,C,D是以AB为直径的半圆的三等分点,OC,OD是半径,且半径为长6,CD为
弦 ,则图中阴影部分的面积是 .

图7-75 图7-76
5.如图7-76,Rt△ABC中两直角边AC=4cm,BC=5cm,分别以AB, AC,BC为直径的三个半圆所
围成的两个新月形(图中阴影部分)的面积和
为 平方厘米.

图7-77
6.如图7-77,在△ABC中,∠C=90°,∠A =60°,以A为圆心,以AC的长为半径画弧与AB
相交于D,若图中阴影部分的面积为6πcm,则 AB
= cm.
7.若扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,则扇形的面积
是 .
二、选择题
1.如图7-78,以边长为a的正三角形的三个顶点为圆心,以边长一半为 半径画弧,则三弧所围
成的阴影部分的面积是( )
2
A. (2 -π); B. (2 -π);
C. + D. a.
2
2.如图7-79,正方形ABCD的边长为1cm,以CD为直径在正方形内画半圆 ,再以C为圆心,1cm
长为半径画弧BD,则图中阴影部分的面积为( )
A. cm B.
2
cm C.
2
cm D.
2
cm
2

图7-78 图
7-79 图7-80
3.三个半径为R的圆两两外切,则夹在三个圆之间部分的面积是( )
A. R-
2
πR B.
2
R-
2
πR
2
C.( -1)R
2
D. R-
2
R
4.如图7-80,在扇形OAB中,∠AOB=90°,再以AB为直径作半圆,所得月牙形面积为( )
A.大于S
△OAB
B.等于S
△OAB
C.小于S
△OAB
D.以上都有可

三、解答题
1.如图7-81所示,已知正方形ABCD的边长为2,以顶点A为圆心,AB为半径作
的中点E,作EF∥AB,交BC于F,交
试求图中阴影部分的面积.
于G,再以E为圆心,ED为半径作
,由AD
交EF于H,
2

图7-81 图
7-82
2.如图7-82所示,正三角形ABC的高AD=4cm,以AD为直径作圆分别交AB、AC于E、 F,求阴
影部分的面积.

四、1.如图7-83所示,已知直角梯形ABCD中 ,∠D=90°,∠A=30°,AB=4,以斜腰AB为
直径的半圆切CD于E,交AD于F.求图中 阴影部分的面积.

图7-83 图
7-84
2.如图7-84所示,已知⊙O
1
与⊙O
2
的公共弦为AB,若AB分别为⊙O
1
和⊙O
2
的内接正三角形和内
接正六边莆的一边,且AB=a,求两圆公共部分的面积.








答案:
一、1.10πcm 2.
二、1.A 2.C 3.D 4.B
2
3. 4.6π 5.10 6.12 7.140πcm
2

same反义词-学信网查询


舞蹈艺考集训班-山东政法学院分数线


高考失败怎么办-重庆国防医院


辽宁二本分数线-浙江省考试网


杨澜的书-服装设计图稿


制药工程考研学校排名-哪款笔记本最好


天津工业大学分数线-福建华南女子


弱电解质的电离平衡-青春励志诗歌



本文更新与2020-09-08 18:56,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/389491.html

圆、扇形、弓形的面积的相关文章