加权平均数公式有关圆锥展开图计算的两个重要公式

有关圆锥展开图计算的两个重要公式

大家在解决有关圆锥侧面展开图的 计算问题时，通常利用了两个
等量关系，第一个是=×底面圆周长(或侧面的弧长)×母线长，
第二个就是侧面的弧长等于底面的周长，但每次都直接利用这两个等
量关系来计算还是很麻烦，特别是同 学们往往容易忘记乘以系数，基
于此我们不妨把这两个等量关系进一步推导，得出实质性的乘积、比例公式。我相信同学们在理解并运用这两个公式后，解题的思路可以
变得清晰，速度和准确度也可以 得到很大的提高。

一、推导公式：
1.乘积式：侧面积：
全面积：



2.比例式：弧长
∵
等于⊙O1的周长
∴
又∵
即：
这两组公式的优点是避开了求底面圆周长，而直接建立了
S侧 与R
、
r的乘积关系， 以及圆心角n与R
、
r的比例关系，减少
了许多中间过程，特别是比例式给我们的计算 带来了极大的便利。
二、运用乘积式：
类型一：顺向使用公式
【问 题】（20 09济南）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作
了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径
则这个圆锥漏斗的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
高

分 析：从刚才推导出的可以看出，只与圆锥的母线长
度以及底面圆半径有关，若题目没有直接 给出母线长度以及底面圆半

径，往往还可以利用R
、
r和h组成的直角三角 形，求出未知的R或
r来，从而计算出侧面积。
结 论：要求,就求R
、
r。
高可以求出母线BC为
，选C。
解 答：此题由底面半径
10cm，即R=10cm，r=6cm，再由
【练 习】
1. （2009铁岭）小丽想用一张半径为5cm的扇形纸片围成一个底面
半径为4cm的圆锥，接缝忽略不 计，则扇形纸片的面积
是 cm
2
．（结果用表示）20
2 .（2009南昌）一个圆锥的底面直径是80cm,母线长是90cm,则它的
侧面积是____ 。
3600cm
2

3. （2008成都）小红同学要用纸板制作一个高 4cm，底面周长是6
πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积
是（ ）B
A．12πcm
2
B．15πcm
2
C．18πcm
2
D．24π
cm
2


类型二：逆向使用公式
，底面半径为3，【问 题】（2009义乌）如图，圆锥的侧面积为
则圆锥的高AO为 .


分 析：从刚才推导出的可以看出，已知
、
R
、
r中任< br>意两个量可以求出余下未知的量，若题目要求求出圆锥的高h，往往
还可以利用R、r和h组成的 直角三角形，从而求出
解 答：此题由
出高AO= 4。
【练 习】
（2 009营口）小红用一个半径为36cm，面积为324cm
2
的扇形纸板，
制作一个 圆锥形
玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径
为 cm．9
三、运用比例式：
=
。
，r=3，可以求出R=5，再根据勾股定理求
类型一：公式
【问 题】（2009抚顺）如图所示，已知圆锥的高AO为8cm，底面
圆的直径BC长为
12cm，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为 度．


分 析：从刚才推导出的可以看出，已知n
、
R
、
r中任意
两个量可以求出余下未知的量，若题目没有直接给出母线长度以及底
面圆半径，往往还可以利用R、r和 h组成的直角三角形，求出未知
的R或r来，从而计算出侧面展开图的圆心角。
结 论：n
、
R
、
r三个量中知二可以求余一。
解 答：此题由底面直 径BC=12cm，高AO=8cm可以求出母线AB
为10cm，即R=10cm，r=6cm，再由
侧面展开图的圆心角为216度。
【练 习】
1．（2009江西）用直径为80 cm的半圆形铁皮围成一个圆锥的侧面
（不计接缝部分），则此圆锥的底面半径是 cm．20
2．（2009成都） 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是
6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）C
A．40° B．80° C．120° D．150°
3．（2008枣庄）如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，若小正方
形方格的边长为1 cm，则这个圆锥的底面半径为（ ）C
计算出n=216，即圆锥的


A．cm B．cm C．cm D．cm
4．（2009仙桃）现有30％ 圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为
40cm，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目 ，她
打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径
为10cm的圆锥形纸帽( 接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆
心角为（ ）．B
A、9° B、18° C、63° D、72°

类型二：公式
【问 题】（2008仙桃）.如图，小明从半径为5cm的圆形纸片中剪
下40%圆周的一个扇形，然后利用 剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具
纸帽（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为( )
A．3cm B．4cm C．cm D．cm


分析：从刚才推导出的
则可以看做
。
可以看出，n为扇形的圆心角，
，即
解答：此题由R=5cm，以及剪下40%的扇形为圆锥侧面展开图，
根据
高为 cm，选C.
可求出r =2cm，再由勾股定理求出
【练 习】
1.（2009 山东）将直径为60cm的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容
器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料 损耗），那么每个圆锥容
器的底面半径为 ( ) A
A．10cm B．30cm C．40cm D．300cm
2.（20 09临汾）若一个圆锥的底面积是侧面积的，则该圆锥侧面展
开图的圆心角度数是____ _度．120
3.（2008泰安）如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，则该
圆锥 侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（ ）D
A．

四、综合运用乘积式，比例式：
【问 题】（2009崇左）已知圆锥的侧面积为
心角为，则该圆锥的母线长为 cm．
，侧面展开图的圆
B． C． D．

分 析：从刚才推导出的，可以看出，，n都要
依靠R
、
r 来建立联系，当我们已知时，可以建立R
、
r的乘积关
系，当我们已知n时，又可以建 立R、r的比例关系。最终可以求出
未知量。
解 答：此题由
R=8cm，r=1cm
即：圆锥的母线长为8cm
【练 习】
1.（2009郴州） 如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为< br>120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）
D
A． B． C． D．
=，得到Rr =8，由n=，得到，则

2.（2009来宾）若圆锥的底面周长是10π，侧面展开后所得 的扇形
的圆心角为90°，则该圆锥的侧面积是（ ）C
A．25π B．50π C．100π D．200π
3.（2009青海）如图11，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆．
求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；2
：
1
（2）求的度数； 6
0°

（3）圆锥的侧面积（结果保留）． 18