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反函数公式爱提分圆和扇形的周长及面积公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-08 19:39
tags:圆的周长公式

学历认证报告-烃的分类


一:周长与面积公式
知识精讲
在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫 做圆.点O就称为该圆
的圆心;圆心与圆周上任意一点的连线(例如线段OA)叫做半径;通过圆心,< br>并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径长恰好是半径长的两倍.


圆心确定 了圆所在的位置,半径长度确定了圆的大小.一个圆只要确定了“圆
心”和“半径”,就能完全确定下来 .

圆周长与直径的比值是一个固定不变的数,我们称之为圆周率,用希腊字母
表示. 圆周率是一个无限不循环小数,无法写成分数的形式.在实际问题的计算
中,常常取近似值.

一.圆的周长与面积公式

1.直径长度通常用字母d表示,半径长度通常用r表示, 圆周长通常用C
表示,圆面积通常用字母S表示.

2.圆周长公式:


蜜蜂飞行:无论小圆有多少个,大小是否相等,只要所有小圆的直径之和等
于大圆的 直径,那么它们的周长之和也等于大圆的周长.


3.圆面积公式:




二.扇形的周长与面积公式

扇形是指圆上被两条半 径和半径之间的弧所包围的部分.其中,圆的半径也
称为扇形的半径,而两条半径所成的夹角称为扇形的 圆心角.扇形是圆的一部分.

要想知道扇形的弧长与面积,只要知道它是所在圆的几分之几就 可以了.它
是圆的几分之几,它的弧长就是圆周长的几分之几,它的面积也同样就是圆面积
的几 分之几.

1.扇形弧长公式:


2.扇形面积公式:


3.温馨提示:扇形的弧长不是它的周长,扇形的周长还必须加上两条半径.

三点剖析
重难点:扇形周长公式,需要加上两条半径

题模精讲
题模一 圆的周长与面积公式
例、
已知一个圆的直径为2厘米,那么这个圆的周长 为_________厘米,面积为
_________平方厘米.

答案:


解析:
周长为厘米,面积为平方厘米.


例、
已知一个圆的周长为厘米,那么这个圆的直径为_________厘米.

答案:
16

解析:
直径为厘米.


例、
有一个圆形花坛,直径为20米,一只小蜜蜂沿着花坛外周飞了一圈,请问它飞
了多少米如果小蜜蜂沿着图中的虚线,飞一个“8”字,路线构成过花坛圆心的
两个小圆,那么这次它飞 了多少米(取)


答案:
(1)米(2)米

解析:
小圆半径是5米,飞行路线为两个小圆周长,所以是米.无论小圆有多少个,
大小是否相等,只 要所有小圆的直径之和等于大圆,那么它们的周长之和也
等于大圆.


例、
如图,已知长方形的面积是12,则图中阴影部分的面积是多少(取)


答案:

解析:
长方形可以分成两个面积相等的正方形,面积 都是6.方中圆,方和圆的面
积比为,可求出小圆的面积是,那么阴影部分的面积是.


例、
如图,在一块面积为平方厘米的圆形铝板中,裁出了7个同样大小的圆铝板 .问:
余下的边角料的总面积是多少平方厘米(取)


答案:
平方厘米

解析:
,大圆半径是3厘米.小圆半径是1厘米,所以边角料面积为平方厘米.


例、
已知大圆的直径为10厘米,有四个大小不等的圆,圆心都在大圆的一条直径上,
并且它们的直径之和与大圆相等.那么4个小圆的周长之和是________厘
米.(取)


答案:

解析:
假设中间4个小圆的直径分别为a、b、c、d,则有,4个小圆的周长之和为
厘米.


例、
如图,直角三角形的面积是40平方厘米,圆的面积是________平 方厘米(π取
3).


答案:
240

解析:
直角三角形的直角边即为圆的半径,所以,,圆的面积是平方厘米.


题模二 扇形的周长与面积公式
例、
如图3,圆P的直径OA是圆O的半径,,, 则阴影部分的面积是__________.(π
取3)


答案:
75

解析:
阴影部分的面积等于大圆面积的一半减去小圆的面积,即.


例、 一个扇形的半径为6平方厘米,圆心角为60°,这个扇形的周长是__________
厘米.( 取)

答案:

解析:
这个扇形是它所在圆的,所以这个扇形的弧长是cm,扇形的周长是厘米.


例、
一个扇形的面积为平方厘米,圆心角为45°,这个扇形的周长是_______厘米.(取)

答案:

解析:
这个扇形是它所在圆的,所以 这个圆的半径的平方是,所以这个圆的半径是
4厘米,所以扇形的半径是4厘米,扇形的周长是厘米.< br>

例、
在荷兰的小镇卡茨赫弗尔,2013年6月建成了一个由三个半圆 组成的城市雕塑,三个半圆的直径分别为,,.这个雕塑的原始图形来自
于阿基米德《引理集》中的鞋匠 刀形(Arbelos),即下图中阴影部分所示的图形.那么,该城市雕塑中的鞋匠刀形的周长为______ ____
(圆周率用π表示)


答案:
πm

解析:
鞋匠刀形的周长是由3条半圆形弧线组成,所以周长为m.


例、
如图,等边三角形ABC的边长是1,依次以A、C、B为圆心,以BA、CD、BE为
半径画扇形,那么三个扇形的面积和是多少(结果保留π)


答案:

解析:
各扇形圆心角均为,半径分别为1、2、3,因此三个扇形的面积和是.


例、
一个半径为3分米的扇形,面积为平方分米,那么它的圆心角是__________, 它
的弧长又是__________分米.

答案:
80°,

解析:
根据题意得,,所以,所以圆心角是度.弧长为.


例、
如图,边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起,在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心,边长为半径的圆弧,则阴影部分的面积是________(结果保留
π).

答案:

解析:



连结AC、FB.易知,故,.


例、
如图,有三个同心半圆 ,它们的直径分别为2,6,10,用线段分割成9块,如
果每块字母代表这一块的面积并且相同的字母 代表相同的面积,那么(A+B):C
=_______


答案:
55:48

解析:
设A的半径为,B的半径为,C的半径为

A的面积:

B的面积:3B=,.

C的面积:5C=,.




题模三 捆圆的周长和面积
例、
已知下图中的每个小圆的半径均为1,这个图形的面积是__________.(取)


答案:

解析:
如图,对图形进行分割后可知这个图形的面积 相当于8个边长为2的正方形
和一个半径为1的圆的面积的和.面积为.



例、
如图,有8个半径为1的小圆,用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的
黑点是这些圆的圆心.那么花瓣图形的周长和面积分别是多少


答案:
周长,面积

解析:
如图,做辅助线后可以看出周长为4个的圆弧加上4个 半圆弧,所以周长为;
而面积为正方形减去4个半圆加上4个圆,即.



例、
如图,每个圆的面积都为,求该图形的外周长.


答案:

解析:
圆半径为2.图形外周长可以分为三段长为4的线段和三段120°角的圆 弧,
则外周长为.


例、
如图,有七根直径为5厘米的塑料管 ,用一根橡皮筋把它们扎成一捆,此时橡皮
筋的长度是多少厘米


答案:

解析:
如图,作辅助线后可以发现外周长是由6段长度为5的线段和6个60°角 的
圆弧组成,所以皮筋长度为.



随堂练习
随练、
已知一个圆的直径是12厘米,那么这个圆的面积为__________平方厘米(取)

答案:

解析:
直径为12厘米,那么半径为6厘米,面积是平方厘米.


随练、
已知一个圆的面积为314平方厘米,那么这个圆的直径为_______厘米(取)

答案:
20

解析:
这个圆的半径为平方是,所以这个圆的半径是10厘米,直径是20厘米.


随练、
半径分别为1、2、3、4厘米的四个圆的周长之和是多少厘米(取)

答案:
厘米

解析:
圆的周长公式为,周长之和为

厘米.


随练、
如图,在一块面积为平方厘米的纸板中,裁出 了2个同样大小的圆纸板.问:余
下的纸板的总面积是多少平方厘米(取)


答案:
平方厘米

解析:
大圆的面积是平方厘米,可求出大圆的 半径是2厘米,那么小圆的半径是1
厘米,面积是平方厘米.阴影部分的面积是平方厘米.


随练、
已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上,周长分别为3、1、2厘米,则 大圆周长
为多少厘米(π取近似值)


答案:
6

解析:
大圆的直径等于三个小圆的直径之和,周长也恰为3个小圆周长之和.


随练、
如图,边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起,在大正方形中 画一个以它
的顶点B为圆心,边长为半径的圆弧,则阴影部分的面积是__________(结果保< br>留π).


答案:

解析:
阴影部分面积为梯 形ABFE与扇形ABC的面积之和减去三角形FEC的面积,
易得为.


随练、
已知一个扇形的半径是10厘米,圆心角是,那么:

(1)这个扇 形所在圆的周长是_________厘米,扇形的圆心角占圆周角的
_________,它的弧长占 圆周长的_________,这个扇形的弧长是_________厘米,
周长是_________ 厘米.

(2)这个扇形面积占它所在圆的面积的_________,是_________ 平方厘米.

答案:
(1);;;;(2);

解析:
(1)这个扇形所在圆的周长是厘米,扇形的圆心角占圆周角的,它的弧长
占圆周长的,这个扇形的弧长 是厘米,周长是.

(2)这个扇形面积占它所在圆的面积的,面积是平方厘米.


随练、
半径为10、20、30的三个扇形如下图放置,是的__________倍.


答案:
5

解析:
为,为,所以是的5倍.


随练、
根据图中所给的数值,求这个图形的面积.(π取近似值)


答案:

解析:
平方厘米.4个直角扇形的面积之和是4,因此整个圆角矩形的面积就是.



随练、
如图,有七根直径为4厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们扎成一捆,此 时橡皮
筋的长度是多少厘米(π取近似值)


答案:

解析:
把圆角六边形的周长分为12个部分,由6条直线段和6段圆弧组成.6条直
线段中,每段的长度都是5厘米,它们的长度和是厘米6段圆弧中,每段所
对应的圆心角都是60°,每 段的弧长都是圆周长的,6段圆弧恰好能拼成一
个完整的圆周.它们的弧长之和就是圆周长,即厘米.圆 角六边形的周长就
是这两部分长度之和,即厘米.



课后作业
作业1、
已知圆的直径为20米,那这个圆的周长为多少米(π取近似值)

答案:

解析:
圆周长的计算公式为:C

=π×D.


作业2、 < br>把两根横截面半径都是10厘米的钢管用铁丝紧紧捆在一起,如果捆绑处不计,
至少要用铁丝__ __________厘米.


答案:

解析:
厘米.


作业3、
一辆压路机的前轮是圆柱形,轮宽米,直径 是米.前轮转动一周,压路的面积是
______平方米.

答案:
平方米

解析:
轮子压一周,周长为米,即压在路面上的长是米,

压路的面积=长×宽平方米.


作业4、
已知圆的面积是314平方米,那圆的周长是多少米(π取近似值)

答案:

解析:
由圆的面积可以求出半径的平方,算出半径后可由公式计算圆的周长,为.


作业5、
已知三个小圆的圆心在大圆同一直径上,周长分别为1、2、3厘米,则大圆周长< br>为多少厘米(π取近似值)


答案:
6

解析:
大圆的直径等于三个小圆的直径之和,周长也恰为3个小圆周长之和.


作业6、
如图,在一块面积为36平方厘米的圆形铝板中,裁出了7个同样大小的圆铝
板.问:余下的边角料的总面积是多少平方厘米


答案:
8平方厘米

解析:
小圆的半径是整个大圆半径的,因此小圆的面积是大圆面积的,为平方厘米;
大圆去掉7个小圆后剩下的面积是平方厘米.


作业7、
已知 一个扇形的圆心角为120°,半径为2,这个扇形的面积是________,周长
是_______ _(π取).

答案:
面积,周长

解析:
扇形的面积;

周长.


作业8、
如图,求各图中阴影部分的面积.(取)


答案:

解析:
阴影部分面积为半径为4的半圆面积减去对角线为8的等腰直角三角形面
积. 阴影部分面积为.


作业9、
已知扇形的半径为3米,面积为米,那扇形的圆心角为多少度(π取近似值)

答案:
180

解析:
扇形所在圆的面积≈×3
2
=平方米,由此可知该扇形是它所在圆的

.那么圆心角应该是360°的二分之一.


作业10、
已知一个扇形的半径为5厘米,弧长为厘米,这个扇形的面积是多少

答案:

解析:
因为扇形的弧长为厘米,所以,可得.扇形面积为平方厘米.


作业11、
根据图中所给的数值,求这个图形的面积.(π取近似值)


答案:

解析:
平方厘米.4个直角扇形的面积之和是,因此整个圆角矩形的面积就是.



作业12、
如图,三个圆的半径都是4,那整个图形的外周长是多少(π取近似值)


答案:

解析:
整个外周长可以分为3段直线和3段弧形.


作业13、
如图 ,有七根直径为10厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们扎成一捆,此时橡
皮筋的长度是多少厘米(π取 近似值)


答案:

解析:
把圆角六边形的周长分为 12个部分,由6条直线段和6段圆弧组成.6条直
线段中,每段的长度都是5厘米,它们的长度和是厘 米6段圆弧中,每段所
对应的圆心角都是60°,每段的弧长都是圆周长的,6段圆弧恰好能拼成一个完整的圆周.它们的弧长之和就是圆周长,即厘米.圆角六边形的周长就
是这两部分长度之和,即 厘米.


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