大学数学公式大全弧长的公式 扇形面积公式

【本讲教育信息】

一. 教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点
重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算 公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，< br>例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积， 显然扇形的面积
是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积
为1 °的扇形面积是
又因为扇形的弧长
，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是
，扇 形面积
，所以圆心角
。
，所以又得到扇形面积
的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分 的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把
扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来， 就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
?

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （??????? ）
（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝
∠AOC＝2∠AB C＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
，
所以
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

公
式
圆周长 弧长 圆面积
∠AOC，所以
扇形面积

（2）扇形与弓形的联系与区别
（2）扇形与弓形的联系与区别
图
示

面
积

知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧 面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
那么这个扇形的半径为l， 扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全
面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和 全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并
明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和 圆柱底面圆的周长，
若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称 圆锥

，圆柱的全面积
圆柱
图形

图形的形成过程
图形的组成
侧面展开图的特征
面积计算方法

由一个直角三角形旋转得到
的，如Rt△SOA绕直线SO
旋转一周。
一个底面和一个侧面
扇形

由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转一周。
两个底面和一个侧面
矩形