公式编辑器在哪弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)

弧长公式、扇形面积公式及其应
用(含经典习题)


一. 教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积

二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并
会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决
问题。

三. 重点及难点
重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面
积的计算。
难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C
【本讲教育信息】

＝2R， 所以1°的圆心角所对的弧长是，
于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的
弧长l的计算 公式：，

说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心
角的倍数，n和180都 不带单位“度”，例如，
圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧
长l时，不要错写成 。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意
两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆
心角为n°的扇 形面积，显然扇形的面积是它所
在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇
形面积等于圆 面积，所以圆心角为1°的扇形
面积是
算公式是
，由此得圆心角为n°的扇形面积的计
。
，扇形面积
，所以又得到扇形面积的另一个计
算公式：。
又因为扇形的弧长

知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括
劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积


图
示

面


积

知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设
圆锥的母线长 为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧
面积，圆锥的 全面积



说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为
圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的 侧面积和全面积的计算
问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆
锥全面积与侧面积之间的 关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两
邻边 分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆
柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积
，圆柱 的全面积

知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称 圆锥
图形

由一个直角三
图形的形
角形旋转得到
的，如Rt△
成过程

SOA绕直线
SO旋转一周。
图形的组一个底面和一
成 个侧面
侧面展开扇形
图的特征
面积计算

方法

【典型例题】


圆柱

由一个矩形旋转得
到的，如矩形
ABCD绕直线AB
旋转一周。
两个底面和一个侧
面
矩形


例1. （2003.辽 宁）如图所示，在同心圆中，
两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴
影部分的面 积是（ ）
A.

例2. （2003.福州）如图所示，已知扇形A OB
的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形
AOB，点C，E，D分别在OA，OB及A B弧上，
过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为
F，如果正方形的边长为1，那么阴 影部分的面
积为（ ）
B. C. D.


例3. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝
90°，A D∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以
BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几
何体的表面积。


例4. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，
面积为300平方厘米
（1）求扇形的弧长。

（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥
的轴截面面积是多少？
。

模拟练习题

一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，
则这个扇形的半径是（ ）
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在
图面积的（ ）
A. B. C. D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆
心角是（ ）
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，
OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半径是小
圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN
的面积的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴
影部分的面积是（ ）
A. B.

C. D.

6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥
的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D.
6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个
圆锥的轴截面的顶角是（ ）
A. 30° B. 60° C.
90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰
好能拼成一个圆，且它们的侧 面积之比为1∶2，
则它们的高之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：

9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，
若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧 面
积为S
1
，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥
的侧面积为S
2
，则（ ）
A. S
1
＝S
2
B. S
1
> S
2
C. S
1
< S
2
D. S
1
、S
2
的大小关系不确定

二、填空题


1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，
则扇形的半径是 cm ，扇形的面积
2
是 cm.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形
面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .
2
3. 已知扇形面积是12cm，半径为8cm，则扇
形周长为 .
4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，
把Rt△ABC绕直线AC旋转一周 得到一个圆锥，
其全面积为S
1
；把Rt△ABC绕AB旋转一周得
到另一个 圆锥，其全面积为S
2
，则S
1
： S
2
＝ 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一
块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥 形的盖
子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形
的半径至少要有 cm。
6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为
6cm，C，D分别是的三等分点，则阴影 部分
的面积是 。

7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的 两
个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部
分面积为 。



三、计算题
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为< br>圆心画弧，交AB于点D，交AC延长线于点
F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л取3）。

2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的 圆柱）的
侧面积是S
1
，另一个圆锥的侧面积是S
2
，如果
圆锥和圆柱等底等高，求．