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if的公式弧长公式、扇形面积公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-08 23:12
tags:面积公式

μ怎么读-龚泽惠


仅供个人参考

弧长与扇形面积、圆锥侧面积


【知识详解】


知识点1、弧长公式


因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2R,所以1°的圆心角所
,于是可得半径为 R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l对的弧长是
的计算公式:,


说明 :(1)在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,n和180都不带单
位“度”,例如,圆的半径R =10,计算20°的圆心角所对的弧长l时,不要错
写成。


(2)在弧长公式中,已知l,n,R中的任意两个量,都可以求出第三个量。


知识点2、扇形的面积


如图所示,阴影部分的面积就是半径 为R,圆心角为n°的扇形面积,显然
扇形的面积是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是360°的 扇形面积等于圆
面积,所以圆心角为1°的扇形面积是

,由此得圆心角为n°的扇形面
积的计算公式是

又因为扇形的弧长

,扇形面积,所以又
得到扇形面积的另一个计算公式:。


知识点3、圆锥的侧面积


圆锥的侧面展开图是一 个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为l,底面圆的
半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为 2,圆锥的侧面积
,圆锥的全面积
不得用于商业用途

仅供个人参考


说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

罿
(2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面
积公式,并明确 圆锥全面积与侧面积之间的关系。


知识点4、圆柱的侧面积


圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱
底面圆的周长,若 圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的侧面积
圆柱的全面积


圆锥与圆柱的比较


名称




圆锥


圆柱


图形








由一个直角三角形旋 转

由一个矩形旋转得到的,如矩形

图形的形成过程 得到的,如Rt△SOA绕直ABCD绕直线AB旋转一周。
线SO旋转一周。


图形的组成

一个底面和一个侧面

两个底面和一个侧面


侧面展开图的特

扇形

矩形



蚀 聿

面积计算方法


补充:知识点5、弓形的面积


(1)弓形的定义:由弦及其 所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫
做弓形。


(2)弓形的周长=弦长+弧长


(3)弓形的面积

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如图所示,每个圆中的阴影部分的面积 都是一个弓形的面积,从图中可以看
出,只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来,就可以 得到弓形AmB的
面积。



当弓形所含的弧是劣弧时,如图1所示,


当弓形所含的弧是优弧时,如图2所示,

当弓形所含的弧是半圆时,如图3所示,


例:如图所示,⊙O的半径为2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是
( )(结果用表示)


分析:由图可知由圆周角定理可知∠ABC=
∠AO C,所以∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC是直角三角形,所以




所以



注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。




圆周长

弧长

圆面积

扇形面积




肇 芄 袁 蕿





(2)扇形与弓形的联系与区别























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【典型例题】
例1.如图所示,在同心圆中,两圆的半径分别为2,1,∠AOB=120°,则阴
影部分的面积 是( )A. B. C.

D.


分析:阴影部分所在的两个扇形的圆心角为



所以


例2.如图所示,点C在以AB为直径的 半圆上,连接AC,BC,AB=10厘米,
tan∠BAC=,求阴影部分的面积。

分析:本题考查的知识点有:(1)直径所对圆周角为90°,(2)解直角
三角形的知 识(3)组合图形面积的计算。


解:因为AB为直径,所以∠ACB=90°,


在Rt△ABC中,AB=10, tan∠BAC=,而tan∠BAC=


设BC=3k,AC=4k,(k不为0,且为正数)由勾股定理得



所以BC=6,AC=8,,而


所以

例3.如图所示,已知扇形AOB的圆心角为直角,正方形OCDE内接于扇形AOB,
点C, E,D分别在OA,OB及AB弧上,过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F,垂
足为F,如果正方形 的边长为1,那么阴影部分的面积为( )


分析:连接OD,由正方形性 质可知∠EOD=∠DOC=45°,在Rt△OED中,

OD=


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因为正方形的边长为1,所以OE=D E=1,所以,设两部分阴影的
面积中的一部分为M,另一部分为N,则,
阴影部分面积可求, 但这种方法较麻烦,用割补法解此题较为简单,设一部分空
白面积为P,


因为∠BOD=∠DOC,所以



所以M=P,所以

例4. 如图所示,直角梯形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=2,BC=7 ,
AD=3,以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周,求所得几何体的表面积。


分析:将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱
和圆锥组成的, 所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三
者之和。


解:作DH⊥BC于H,所以DH=AB=2


CH=BC-BH=BC-AD=7-3=4



在△CDH中,
所以






例5.已知扇形的圆心角为120°,面积为300平方厘米


(1)求扇形的弧长。


(2)若把此扇形卷成一个圆锥,则这个圆锥的轴截面面积是多少?


分析:(1)由扇形面积公式,可得扇形半径R,扇形的弧长
可由弧长公式求得。(2)由此扇 形卷成的圆锥如图所示,这个圆锥的轴
截面为等腰三角形ABC,(1)问中求得的弧长是这个圆锥的底 面圆周长,而圆
周长公式为C=2r,底面圆半径r即CD的长可求,圆锥的高AD可在Rt△ADC< br>中求得,所以


可求。
解:(1)设扇形的半径为R,由
=30.
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,得,解得R
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所以扇形的弧长(厘米)。


(2)如图所示,在等腰三角形ABC中,AB=AC=R=30,BC=2r, 底面圆


周长C=2r,因为底面圆周长即为扇形的弧长,所以


在Rt△ADC中,高AD=


所以轴截面面积(平方厘米)。


【模拟试题】

一、选择题


1. 若一个扇形的圆心角是45°,面积为2л,则这个扇形的半径是
( )


罿
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л


2. 扇形的圆心角是60°,则扇形的面积是所在图面积的( )


A. B. C. D.

3. 扇形的面积等于其半径的平方,则扇形的圆心角是( )
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O,大圆的半径是以OA,OB分别交小圆于点M, N.已
知大圆半径是小圆半径的3倍,则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的( )
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O的直径为6cm,∠BAC=30°,则阴影部分的面积是( )
A. B.
C. D.
6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面,则此圆锥的底面半径为
( )
A. 2cm B. 3cm C.
4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 :2,这个圆锥的轴截面的顶角是( )
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A. 30° B. 60° C.
90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧 面展开图恰好能拼成一个圆,且它们的侧面
积之比为1∶2,则它们的高之比为( )
A. 2:1 B. 3:2 C. 2:
D. 5:
9. 如图,在△ABC中,∠C =Rt∠,AC > BC,若以AC为底面圆半径, BC为
高的圆锥的侧面积为S
1
,以BC为底面圆半径,AC为高的圆锥的侧面积为S
2
,则
( )
A. S
1
=S
2
B. S
1
> S
2
C. S
1
< S
2
D. S
1
、S
2
的大小关系不
确定
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm,其圆心角是90°,则扇形的半径
是 cm ,扇形的面积是 cm
2
.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍,且扇形面积等于圆面积,则扇形的圆
心角是 .
3. 已知扇形面积是12cm
2
,半径为8cm,则扇形周长为 .
4 在△ABC中,AB=3,AC=4,∠A=90°,把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得
到一个圆锥,其全面积为S
1
;把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥,其全
面积为S
2
,则S
1
: S
2
= 。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm,要用一块圆心角为240°的扇形铁板做
一个圆锥 形的盖子,做成的盖子要能盖住圆柱形容器,这个扇形的半径至少要
有 cm。
6. 如图,扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm,C,D分别是的三等分
点,则阴影部分的面积是 。
7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心,以2为半
径画弧,则阴影部分面积为 。
三、计算题
1. 如图,在Rt△ABC中,AC=BC ,以A为圆心画弧,交AB于 点D,交AC
延长线于点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等,求AC与AF的长
度之比(л取3)。
2. 一个等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的侧面积是S
1
,另一个圆锥的侧
面积是S
2
,如果圆锥和圆柱等底等高,求.
3. 圆 锥的底面半径是R,母线长是3R,M是底面圆周上一点,从点M拉一根
绳子绕圆锥一圈,再回到M点, 求这根绳子的最短长度.
【试题答案】
一、选择题
1. A 2. B 3. C 4. D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. B
二、填空题
1、24 144 2、40° 3、19cm 4、3:4 5、3 6、2 7、2-
4
三、计算题
1、连接AE,则
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,所以
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2、
3、连接展开图的两个端点MM',即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM′=120°,∠AMD=30°,AD=,
不得用于商业用途
仅供个人参考
仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.
только для людей, которые используются для обучения, исследований и не должны
использоваться в коммерческих целях.


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