公式1寻找高斯趣题与梯形面积公式的连接点

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寻找高斯趣题与梯形面积公式的连接点

作者：王建生

来源：《小学教学研究》2013年第06期

苏教版数学五年级上册第25页有这样一道探索题：小明参观钢铁厂时看到许多钢管堆成
如右下图的形状 。最上层有9根，最下层有16根，共有8层。可以用什么方法计算出这堆钢
管一共有多少根呢？
教师用书上是这样建议的：可以先画出完整的截面示意图，让学生通过观察，明确这堆 钢
管排列的规律，然后让学生尝试着计算。学生用不同方法计算后，组织交流。在交流中，进一
步启发学生想象：如果把两堆这样的钢管像两个完全一样的梯形拼成平行四边形那样合在一
起，那么每层 有几根，有几层？每层的根数可以怎样简便地计算出来？使学生领悟到可以用
“（最上层根数+最底层根 数）×层数÷2”来计算。至此，学生能很自然地把这一方法与梯形面积
公式的推导过程联系起来，讨论 教材中提出的问题也就水到渠成了。
对于教师用书上的建议，我非常赞成。但我进一 步深入思考：为什么不是计算这个钢管堆
的横截面面积，却同样可以用面积公式呢？钢管根数与面积大小 之间到底有没有本质联系呢？
如果我们能让学生通过自主探索发现计算钢管根数与面积大小之间的本质联 系，那么学生对为
什么可以这样计算钢管根数的理解是不是可以更深一层。
进一步来思考：该题的价值在于将梯形的面积公式应用于等差数列求和的计算，大大拓宽
了梯形面积公式 的使用价值。为此我想到了这样一些关键词：数学文化、课程资源、几何直
观、数学建模。
教材中提供的是用梯形面积公式计算圆形钢管的根数这样一个实际问题，我想，如果把面
积公式作为一个 结论直接让学生去计算，如何运用或许没有问题，多出几道类似的问题，反复
运用几次后学生一定会熟练 起来，但怎么想到用面积公式这样一个几何图形的知识来解决钢管
的根数这样一个与图形没有任何联系的 问题的呢？这或许才是这一课探究的真正价值所在。为
此我想要把两者联系起来，还需要通过一系列课程 开发，丰富相应的课程资源，打通面积公式
与计算圆形钢管根数之间的内在联系，于是我尝试设计了如下 一些问题：
（1）下图中每个小正方形的面积是1平方厘米，图1的面积是多少平方 厘米？图2呢？
这两个图形的形状不同，为什么面积一样？
（2）图3中每 个小正方形的面积是1平方厘米，整个图形的面积是多少平方厘米？怎么
算有多少个小正方形？（要求有 多少个小正方形，可以用这样的算式：1+2+3+4+5+6。）
（3）在第（2 ）题的基础上进行变形（如图4）。图4的面积是多少？追问：图4的形状
变了，为什么面积没变？