利润表公式数列求和公式证明

1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)6从左边推到右边

数学归纳法可以证
也可以如下做 比较有技巧性
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+......+n^2
=1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)

由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3 +....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]3

所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]3-[n(n+1)]2
=n(n+1)[(n+2)3-12]
=n(n+1)[(2n+1)6]
=n(n+1)(2n+1)6

2）
1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？

设n为奇数,
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=
=(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1)
=2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1)
=8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)2]^2)+n(n+1)
=8*[(n-1)2][(n+1)2]n6+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)3
设n为偶数,
请你自己证明一下！
所以，
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
设an=n×（n+1）=n^2+n
Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）
=(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n)
=n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2
=n(n+1)(n+2)3

(n+1)*n*(n+1)=(n^2-1)*n=n^3-n

数列求和的几种方法

1. 公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)d2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)(1-q)=(a1-an×q)(1-q) (q≠1)

2.错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、
{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如： an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn
Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn- qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)
=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)](1-q) Tn=上述式子(1-q)

3.倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时 所用的方法，就是将一个数列倒过来排列
（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an )
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加 得到
2Sn 即 Sn= （a1+an)n2

4.分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列 ，若将这类数列适当拆开，可分
为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：
an=2^n+n-1

5.裂项法
适用于分式形式的通项公式， 把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)
－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 常用公式：
（1）1n(n+1)=1n-1(n+1)
（2）1(2n-1)(2n+1)=12[1(2n-1)-1(2n+1)]
（3）1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]
（4）1(√a+√b)=[1(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例] 求数列an=1n(n+1) 的前n项和.
解：an=1n(n+1)=1n-1(n+1) （裂项）
则Sn =1-12+12-13+14…+1n-1(n+1)（裂项求和）＝ 1-1(n+1)＝ n(n+1)

小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都
互相 抵消了。只剩下有限的几项。 注意： 余下的项具有如下的特点 1余
下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。
6.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k 为自然数）时命题成立，证明当n=k+1
时命题也成立。

例：求证：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) =
[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]5 证明： 当n=1时，有： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 =
2×3×4×5×(15 +1) = 2×3×4×5×65 假设命题在n=k时成立，于是：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) =
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]5 则当n=k+1时有： 1×2×3×4 + 2×3×4×5 +
3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6
+ …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) =
[k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) =
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]5 即n=k+1
时原等式仍然成立，归纳得证

7.通项化归
先将通项公式进行化简，再进行求和。 如：求数列1，1+2，1+2+3，
1+2+3+4,… …的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。
8.并项求和：
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n （并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。