表面积计算公式数列求和公式法

数列求和公式法
等差数列求和公式:

（首项+末项）×项数÷2
举例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9÷2=45
等比数列求和公式：


差比数列求和公式：

a:等差数列首项
d:等差数列公差
e:等比数列首项
q:等比数列公比
其他




数列求和错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）
{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.

例如：






______①
1



T
n
=上述式子(1-q)
此外.①式可变形为

S
n
为{b
n
}的前n项和.
此形式更理解也好记
数列求和倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来 排列（反序），再把它与
原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
S
n
=a
1
+ a
2
+ a
3
+...... +a
n

S
n
=a
n
+ a
n-1
+a
n-2
...... +a
1

上下相加得S
n
=(a
1
+a
n
)n2
数列求和分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可 分为几个等差、等比
或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：a
n< br>=2
n
+n-1，可看做是2
n
与n-1的和
S
n
=a
1
+a
2
+...+a
n

=2+0 +2
2
+1+2
3
+2+...+2
n
+n-1
=(2+2
2
+...+2
n
)+(0+1+...+n-1)
=2(2
n
-1)(2-1)+(0+n-1)n2
=2
n+1
+n(n-1)2-2
数列求和裂项相消法
适用于分 式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即a
n
=f(n+1)－f(n)，然 后累加时抵
消中间的许多项。
常用公式：
（1）

（2）

（3）
2


（4）

（当a≠b时）
（5）

[例] 求数列a
n
=1n(n+1) 的前n项和.
解：a
n
=1n(n+1)=1n-1(n+1) （裂项）
则S
n

=1-12+12-13+14…+1n-1(n+1)（裂项求和）
= 1-1(n+1)
= n(n+1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分 项都互相抵消了。只剩
下有限的几项。
注意： 余下的项具有如下的特点
1、余下的项前后的位置前后是对称的。
2、余下的项前后的正负性是相反的。
数列求和数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
例：
求证：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]5
证明：
当n=1时，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×55
假设命题在n=k时成立，于是：
1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]5
则当n=k+1时有：
1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k5 +1)
= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]5
即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证


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数列求和通项化归法
先将通项公式进行化简，再进行求和。
如：求数列1，1+2 ，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求
和。
数列求和并项求和法
（常采用先试探后求和的方法）
例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
方法一：（并项）
求出奇数项和偶数项的和，再相减。
方法二：
（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
方法三：
构造新的数列，可借用等差数列与等比数列的复合。
an=n(-1)^（n+1）

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