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excel 日期公式常用的一些求和公式

作者:高考题库网
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2020-09-09 05:02
tags:等差数列求和公式

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下面是常用的一些求和公式:







































a
1
, a
1
+d, a
1
+2d, a
1
+3d, .... (d为常数)
称为公差为d的等差数列.与等差数列相应的级数称为等差级数,又称算术级数.
通项公式
前n项和
等差中项
a
1
, a
1
q, a
1
q
2
, a
1
q
3
....,(q为常数)

称为公比为q的等比数列.与等比数列相应的级数称为等比级数,又称几何级数.
通项公式
前n项和
等比中项
无穷递减等比级数的和
更多地了解数列与级数:等差数列与等差级数(算术级数)

等比数列
等比数列的通项公式
等比数列求和公式

(1) 等比数列:a (n+1)an=q (n∈N)。
(2) 通项公式:an=a1×q^(n-1);
推广式:an=am×q^(n-m);
(3) 求和公式:Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)(1-q) =(a1-an*q)(1-q) (q≠1)
(q为比值,n为项数)
(4)性质:
①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am*an=aq^2
(5) 是a、b的等比中项(G ≠ 0)
(6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.
注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列
如果一个数列从 第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做
等比数列。这个常数叫做等比数列 的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。

(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
若通项公式变形为an=a 1q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点
(n,an)是曲线y= a1q*q^x上的一群孤立的点。

(2)等比数列求和公式:Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)(1-q)
=(a1-a1q^n)(1-q)
=(a1-an*q)(1-q)
=a1(1-q)-a1(1-q)*q^n ( 即A- Aq^n)
(前提:q≠ 1)
任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:
a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一
个正 数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,
我们说:一个正 项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义:从第二项起,每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项
的等比中项。
(5)无穷递缩等比数列各项和公式:
无穷递缩等比数列各项和公式:对于等比数列 的前n 项和,当n 无限增大时的极限,
叫做这个无穷递缩数列的各项和。
[编辑本段]性质
①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(anbn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1q2。
(4)按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列。
(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且 各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等
差,公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)(1-q)=A1(q^n-1)(q- 1)=(A1q^n)(q-1)-A1(q-1)
(8) 数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*qa1=q^n,它的指 数
函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

求等比数列通项公式an的方法:

(1)待定系数法:已知a(n+1)=2an+3,a1=1,求an
构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)
a(n+1)=2an+x,∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
所以a(n+1)+3an+3=2
∴{an+3}为首项为4,公比为2的等比数列,所以< br>an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
[编辑本段]等比数列的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如:银行有一种支付利息的方式——复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,
在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
等比数列小故事:
根据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝
时期用波斯文写的 .据说,有位印度教宰相见国王自负虚浮,决定给他一个教训.他向国王
推荐了一种在当时尚无人知晓的 游戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊
赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情.
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宰相,作为对
他忠 心的奖赏,他需要得到什么赏赐.宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1
粒麦子,第二个格子 上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次
序在后的格子中放的麦粒都必须是 前一个格子麦粒数目的倍数,直到最后一个格子第64格
放满为止,这样我就十分满足了. “好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宗师的这个谦卑
的请求.
这位聪明的宰相到底 要求的是多少麦粒呢?稍微算一下就可以得出:
1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2 ^64-1,直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,
615粒,这位宰 相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和!
如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存 这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可
以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永
远 也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“ 陛下,
这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要我把
全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下。其实,您只要让宰相
大 人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒,数完18,446,
744,0 73,709,551,615粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年(大家可以自己用计算
器算一 下!)。就算宰相大人日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中
极小的一部分。这 样的话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”
国王恍然大悟,当下就召来 宰相,将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我 ,那些赏赐……我也只
好不要了!”当然,最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子)。

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