用公式怎么计算2019年高考数学真题考点24 数列求和及综合应用

考点24 数列求和及综合应用
一、选择题

1
.
(2019·浙江高考·T10)设
a
,
b
∈R,数列{
a
n
}中
a
1
=
a
,
a
n
+1
=

+
b
,
n
∈N
*
,则 (

)
A.当
b
=
时,
a
10
>10 B.当
b
=
时,
a
10
>10
C.当
b
=-2时,
a
10
>10 D.当
b
=-4时,
a
10
>10





【解析】选A
.
由
a
n
+1
=

+
b
得,

+
b
-
a
=(a
-
)
2
+(
b
-
),
a
n
+1
-
a
n
=

nn


当
b
=时,


a
n
+1
-
a
n
=(
a
n
-
)
2
+

>0,
数列{
a
n
}是递增数列,

a
2
=

+≥
,


a
3
=

+≥(
)
2
+=
,


a
4
=

+≥(
)
2
+=>1,


a
5
=

+>1
2
+=
,


a
6
=

+>(
)
2
+=
,


a
7
=

+>(
)
2
+=>8,


a
8
=

+>8
2
+>10,









所以:
a
10
>
a
9
>
a< br>8
>10
.

二、解答题
2
.
(2019 ·全国卷
Ⅰ
文科·T18)记
S
n
为等差数列{
a
n
}的前
n
项和,已知
S
9
=-
a
5.

(1)若
a
3
=4,求{
a
n
} 的通项公式
.

(2)若
a
1
>0,求使得
Sn
≥
a
n
的
n
的取值范围
.

【命题意图】该题考查的是有关数列的问题,涉及的知识点有等差数列的通项公式,等差数列的求和公式,在解 题的过程中,需要
认真分析题意,熟练掌握基础知识是正确解题的关键
.

【 解题指南】(1)首先设出等差数列的公差,根据题的条件,建立关于
a
1
和
d
的方程组,求得
a
1
和
d
的值,利用等差数列的通项公< br>式求得结果
.

(2)根据题意有
a
5
=0,根据< br>a
1
>0,可知
d
<0,根据
S
n
≥
a
n
,得到关于
n
的不等式,从而求得结果
.

【解析】(1)设{
a
n
}的公差为
d.

由S
9
=-
a
5
得
a
1
+4
d
=0
.

由
a
3
=4得
a
1+2
d
=4
.

于是
a
1
=8,
d
=-2
.

因 此{
a
n
}的通项公式为
a
n
=10-2
n.


(2)由
S
9
=-
a
5
得
a
1
=-4
d
,故
a
n
=(
n
-5)
d
,
S
n
=
( - )

.

由
a
1
>0知
d
<0,故
S
n
≥
a
n
等价于
n
2
-11
n< br>+10≤0,解得1≤
n
≤10
.

所以
n
的取值范围是{
n
|1≤
n
≤10,
n
∈N}
.< br>
3
.
(2019·天津高考理科·T19)设{
a
n
}是等差数列,{
b
n
}是等比数列
.
已知
a
1
=4,
b
1
=6,
b
2
=2
a
2
-2,
b
3
=2
a
3
+4
.
< br>(1)求{
a
n
}和{
b
n
}的通项公式
.

,



,
(2)设数列{c
n
}满足
c
1
=1,
c
n
=
其中
k
∈N
*
.



,

,
①求数列{


(


-1)}的通项公式
.

②求∑
a
i
c
i
(
n
∈N
*
)
.




【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前
n
项和公 式等基础知识
.
考查化归与转化思想和数列求和的
基本方法以及运算求解能力
.

【解析】(1)设等差数列{
a
n
}的公差为
d,等比数列{
b
n
}的公比为
q.

,
,
依题意得

解得

,
,
故
a
n
=4+(
n
-1)×3=3
n
+ 1,
b
n
=6×2
n
-1
=3×2
n
.< br>
所以{
a
n
}的通项公式为
a
n
=3n
+1,{
b
n
}的通项公式为
b
n
=3×2
n
.

(2)①


(


-1)=


(
b
n
-1)=(3×2
n
+1)(3×2
n
-1)=9×4
n
-1
.

所以数列{


(


-1)}的通项公式为


(


-1)=9×4
n
-1
.

②∑
a
ic
i
=∑
[
a
i
+
a
i
(< br>c
i
-1)]





=∑
a
i
+∑



(


-1)




=




(

- )

+∑
(9×4
i
-1)


=(3×2
2< br>n
-1
+5×2
n
-1
)+9×
( -

)
-
-
n

=27×2
2
n
-1
+5×2
n
-1
-
n
-12 ∈
*

.

4
.
(2019·天津高考文科·T18 )设{
a
n
}是等差数列,{
b
n
}是等比数列,公比大于 0,已知
a
1
=
b
1
=3,
b
2
=
a
3
,
b
3
=4
a
2
+3.

(1)求{
a
n
}和{
b
n
}的 通项公式
.

(2)设数列{
c
n
}满足
c
n
=
, 为奇数,

求
a
1
c
1
+
a
2< br>c
2
+…+
a
2
n
c
2
n
(
n
∈N
*
)
.



, 为偶 数,
【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前
n
项和公式等基础 知识
.
考查数列求和的基本方法和运算求解
能力
.

【解题 指南】(1)首先设出等差数列的公差,等比数列的公比,根据题意,列出方程组,求出公差和公比,进而求得等 差数列和等比数
列的通项公式
.

(2)根据题中所给的
c
n
所满足的条件,将
a
1
c
1
+
a
2c
2
+…+
a
2
n
c
2
n
表 示出来,之后应用分组求和法,结合等差数列的求和公式,以及
错位相减法求和,最后求得结果
.

【解析】(1)设等差数列{
a
n
}的公差为
d
,等比数列{
b
n
}的公比为
q
,
,
,
依题意,得

解得

,
,
故
a
n
=3+3(
n
-1)=3
n
,< br>b
n
=3×3
n
-1
=3
n
,


所以{
a
n
}的通项公式为
a
n
=3< br>n
,{
b
n
}的通项公式为
b
n
=3
n
.

(2)
a
1
c
1
+
a< br>2
c
2
+…+
a
2
n
c
2
n

=(
a
1
+
a
3
+
a
5
+…+
a
2
n
-1
)+(
a
2
b
1
+
a
4
b
2
+
a
6
b
3
+…+
a
2
n
b
n
)
=
( - )

+(6×3
1
+12×3
2
+18×3
3
+…+6
n
×3
n
)
=3
n
2
+6×(1×3
1
+2×3
2
+…+
n
×3
n
),
记
T
n
=1×3
1
+2× 3
2
+…+
n
×3
n
①
则3
T
n
=1×3
2
+2×3
3
+…+
n
×3
n
+1
②
②-①得2
T
n
=-3-3
2
- 3
3
-…-3
n
+
n
×3
n
+1
=-
( -

)
-
+
n
×3
n
+1
=
( - )



,
所以
a
1
c
1
+a
2
c
2
+…+
a
2
n
c
2
n
=3
n
2
+6
T
n

=3
n
2
+3×
=
( - )




( - )





(
n
∈N
*
)
.

5
.
(2019·浙江高考·T20)(本小题满分15分)设等差数列{
a
n
}的前n
项和为
S
n
,
a
3
=4,
a
4
=
S
3
,数列{
b
n
}满足:对每个
n
∈
N
*
,
S
n
+
b
n
,
S
n
+1
+
b
n
,
S
n
+2
+
b
n
成等比数列
.

(1)求数列{a
n
},{
b
n
}的通项公式
.

(2)记
c
n
=



,
n∈N
*
,证明:
c
1
+
c
2
+…+< br>c
n
<2

,
n
∈N
*
.



【命题意图】本题 主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力
.

【解析】(1)设数列{
a
n
}的公差为
d
,由题意得 < br>a
1
+2
d
=4,
a
1
+3
d=3
a
1
+3
d
,
解得
a
1
=0,
d
=2
.

从而
a
n
=2
n
-2,
n
∈N
*
.< br>
由
S
n
+
b
n
,
S
n< br>+1
+
b
n
,
S
n
+2
+
b
n
成等比数列得
(
S
n
+1
+
bn
)
2
=(
S
n
+
b
n
)(
S
n
+2
+
b
n
)
.


解得
b
n
=
(

-
S
n
S
n
+2
)
.



所以
b
n
=
n
2
+
n
,
n
∈N
*
.

(2)
c
n
=

-



-
==

,
n
∈N
*
.



( ) ( )
我们用数学归纳法证明
.

①当
n
=1时,
c
1
=0<2,不等式成立;
②假设
n
=
k
∈
*
时不等式成立,即c
1
+
c
2
+…+
c
k
<2


.

那么,当
n
=
k
+1时,
c
1
+
c
2
+…+
c
k
+
c< br>k
+1
<2

+
( )( )

<2

+


<2

+






=2

+2(

-

)=2


.

即当
n
=
k
+1时不等式也成立
.

根据 ①和②,不等式
c
1
+
c
2
+…+
c
n< br><2

对任意
n
∈N
*
成立
.



6
.
(2019·江苏高考·T20)
定义首项为1且公比为正数的等比数列为“
M
-数列”
.

(1)已知等比数列{
a
n
}(
n
∈N
*
)满足:
a
2
a
4
=
a
5
,
a
3
-4
a
2
+4
a
1
=0,求证:数列{
a
n
}为“
M
-数列”
.

(2)已知数列{
b
n
}(
n
∈N
*
)满足:
b
1
=1,=-
①求数列{
b
n
}的通项公式
.

② 设
m
为正整数,若存在“
M
-数列”{
c
n
}(< br>n
∈N
*
),对任意正整数
k
,当
k
≤m
时,都有
c
k
≤
b
k
≤
c
k
+1
成立,求
m
的最大值
.

【命题意图】本题 主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学
知识探究与解决问题的能力
.

【解题指南】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可证得题中的结论
.

(2)①由题意利用递推关系式讨论可得数列{
b
n
}是等差数列,据此即可确定其 通项公式;②由①确定
b
k
的值,将原问题进行等
价转化,构造函数,结合导 函数研究函数的性质即可求得
m
的最大值
.

【解析】(1)设等比 数列{
a
n
}的公比为
q
,所以
a
1
≠0 ,
q
≠0
.









,






,
,
由 得解得



.


-



,



-



,
因此数列{
a
n
}为“
M
—数列”
.

(2)①因为
=-




,所以











,其中




S
n
为 数列{
b
n
}的前
n
项和
.

b
n
≠0
.

由
b
1
=1,S
1
=
b
1
,得
=-
,则
b
2
=2
.

由
=-




,得




S
n
=




(

-

)
,
当
n
≥2时,由
b
n
=
S
n
-
S
n
-1
,
得
b
n
=





(

-

)
(

-
-
-


-
)
,
整理得
b
n
+1
+
b
n
-1
=2
b
n
.

所以数列{
b
n
}是首项和公差均为1的等差数列
.
因此,数列{
b
n
}的通项公式为
b
n
=
n< br>(
n
∈N
*
)
.

②由①知,
b< br>k
=
k
,
k
∈N
*
.

因 为数列{
c
n
}为“
M
-数列”,设公比为
q
,所 以
c
1
=1,
q
>0
.

因为
c
k
≤
b
k
≤
c
k
+1
,所以q
k
-1
≤
k
≤
q
k
,其中
k
=1,2,3,…,
m.

当
k
=1时,有
q
≥1;
当
k
=2,3,…,
m
时,有

≤ln
q
≤
.


-
-


设
f
(
x
)=

(
x
>1),则

f'
(
x
)=
.

x

f'
(
x
)
f
(
x
)
(1,e)
+
↗
e
0
极大值
(e,+∞)
-
↘
令
f'
(
x
)= 0,得
x
=e
.
列表如下:
因为

=<=
,所以


f
(
k
)
max
=
f
(3)=

.


≤ln
q
,即


取
q
=

,当
k
=1,2,3,4,5时,
k
≤
q
k
,
经检验知
q
k
-1
≤
k
也成立
.

因此所求
m
的最大值不小于5
.

若
m
≥ 6,分别取
k
=3,6,得3≤
q
3
,且
q
5≤6,从而
q
15
≥243,且
q
15
≤216,


所以
q
不存在
.
因此所求
m
的最大值小于6
.

综上,所求
m
的最大值为5
.