报价公式高中数学新课程创新教学设计案例 篇 等差数列的前n项和

46 等差数列的前n项和
教材分析
等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也 是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的
求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式， 为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方
法．
教材首先通过具体的事例，探索归纳出等 差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出
等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解， 通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和
与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地 运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节
内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公 式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公
式推导思路的形成．
教学目标
1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象
概括能力．
2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并
能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．
任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．
对公式的推导，为便于学生理解，采取从 特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求
和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发 ，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方
面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第 ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现
求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一 般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公
式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与 等差数列的项、项数、公差之间的关系．为
加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具 体实例的分析，引导学生学会解决问题
的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数 列的模型，恰当选择公式．对于等
差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．
教学设计
一、问题情景
1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在 老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝”时，
很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢他发现1 ＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是
1＋2＋…＋100＝101×50＝ 5050．
2. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和．
3. 高斯的方法妙在哪里呢这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和
二、建立模型
1. 数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａ
n
｝，我们称ａ
1
＋ａ
2
＋…＋ａ
n
为数列｛ａ
n
｝的前ｎ项和，用S
n
表示，即S
n
＝ａ
1
＋ａ
2
＋…＋ａ
n
．
2. 等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式
对于公差为ｄ的等差数列｛ａ
n
｝：
S
n
＝ａ
1
＋（ａ
1
＋ｄ）＋（ａ
1
＋2ｄ）＋…＋［ａ
1
＋ （ｎ—1）ｄ］，
①
依据高斯算法，将S
n< br>表示为S
n
＝ａ
n
＋（ａ
n
—ｄ）＋（ａ
n
—2ｄ）＋…＋［ａ
n
—（ｎ—1）
ｄ］． ②
由此得到等差数列的前ｎ项和公式
小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法．
（2）结合通项公式ａ
n
＝ａ
1
＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式
（３）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质
学生讨论后，教师总结 ：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ
1
和项数ｎ；不同点是前者还须
要知道ａn
，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映
了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，
后者 反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．
三、解释应用
［例 题］
1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａ
n
｝的前ｎ项和S
n
．
（1）ａ
1
＝ —4，ａ
8
＝ —18，ｎ＝8．
（2）ａ
1
＝14．5，ｄ＝，ａ
n
＝32．
注：恰当选用公式进行计算．
2. 已知一个等差数列｛ａ
n
｝前10项的 和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个
等差数列的前ｎ项和的公式吗
分析：将已知条件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ
1
与ｄ的关系式，它们都
是关于ａ
1
与ｄ的二元一次方程，由此可以求得ａ
1
与ｄ，从而得到 所求前ｎ项和的公式．
解：由题意知
注：（1）教师引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式 ，就是一个关于ａ
n
，ａ
1
，ｎ或者ａ
1
，ｎ，
ｄ 的方程，使学生能把方程思想和前ｎ项和公式相结合，再结合通项公式，对ａ
1
，ｄ，ｎ，ａ< br>n
及S
n
这五个量知其三便可求其二．
（2）本题的解法还有很多，教学时可鼓励学生探索其他的解法．例如，
3. 2000年1 1月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了
实施“校校通” 工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据
测算，200 1年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资
金都比上 一年增加50万元．那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多
少 < br>教师引学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为５０的等差数列．问题实质是求该数列
的前10项的和．
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比 上一年增加50万元．所
以，可以建立一个等差数列｛ａ
n
｝，表示从2001年起各 年投入的资金，其中，ａ
1
＝500，ｄ＝50．
那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．
注：教师引导学生规范应用题的解题步骤．
4. 已知数列｛ａ
n
｝的前ｎ 项和S
n
＝ｎ
2
＋
吗如果是，它的首项与公差分别是什么
解：根据
ｎ，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列
由此可知，数列｛ａn
｝是一个首项为，公差为2的等差数列．
思考：一般地，数列｛ａ
n
｝前ｎ项和S
n
＝Aｎ
2
＋Bｎ（A≠０），这时｛ａ
n
｝ 是等差数列吗为什
么
［练 习］
1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛 车：从时速10ｋｍ／ｈ开始，每隔2ｓ速度提高
20ｋｍ／ｈ．如果测试时间是30ｓ，测试距离是多 长
2. 已知数列｛ａ
n
｝的前ｎ项的和为S
n
＝ｎ
2< br>＋ｎ＋4，求这个数列的通项公式．
3. 求集合M＝｛ｍ｜ｍ＝2ｎ—1，ｎ∈N
*
，且ｍ＜60｝的元素个数，并求这些元素的和．
四、拓展延伸
1. 数列｛ａ
n
｝前ｎ项和S
n
为Sn
＝pn
2
＋qn＋ｒ（ｐ，ｑ，ｒ为常数且ｐ≠０），则｛ａ
n
｝成等
差数列的条件是什么
2. 已知等差数列5，4，3，…的前ｎ项和为S
n
，求使S
n
最大的序号ｎ的值．
分析1：等差数列的前ｎ项和公式可以写成S
n
＝ｎ
2
＋ （ａ1
－）ｎ，所以S
n
可以看成函数
ｙ＝x
2
＋（ａ1
－ ）ｘ（ｘ∈N
*
）．当ｘ＝ｎ时的函数值．另一方面，容易知道S
n
关于ｎ的图
像是一条抛物线上的一些点．因此，我们可以利用二次函数来求ｎ的值．
解：由题意知，等差数列5，4，3，…的公差为－，所以
于是，当ｎ取与最接近的整数即7或8时，S
n
取最大值．
分析2：因为公差ｄ＝ －＜０，所以此数列为递减数列，如果知道从哪一项开始它后边的项
全 为负的，而它之前的项是正的或者是零，那么就知道前多少项的和最大了．即使
中求出ｎ．
然后从
点 评
这篇案例从具体的实例出发，引出等差数列的求和问题，在设计上，设 计者注意激发学生的学习
兴趣和探究欲望，通过等差数列求和公式的探索过程，培养学生观察、探索、发 现规律、解决问题的
能力．
对例题、练习的安排，这篇案例注意由浅入深，完整，全面．拓展 延伸的设计有新意，有深度，
符合学生的认识规律，有利于学生理解、掌握这节内容．
就总体 而言，这篇案例体现了新课程的基本理念，尤其关注培养学生的数学思维能力和创新能
力．另外，这篇案 例对于继承传统教学设计注重“双基”、关注学生的落实，同时注意着眼于学生的全
面发展，有比较好的 体现。