买卖指标公式小学四年级奥数讲义之精讲精练第8讲 巧妙求和(一)

第2讲巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。数列 中的每一个数称为一项。其中第一项称
为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后
项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习
1：
1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
【例题2 】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多
少？练习2：
1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
2、求1，4，7， 10……这个等差数列的第30项。【例题3】有这样一个数
列：1.2.3.4，…，99，100。 请求出这个数列所有项的和。
练习3：
1 6


计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
三、课后作业 1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
2、求等差 数列2，6，10，14……的第100项。
3、100+99+98+…+61+60
4、（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
5、100+95+90+…+15+10+5
6、4+7+10+13+…+298+301+298+…+13+10+7+4
7、2013-2012+2011-2010+…+3-2+1
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8、影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每一排比前一排多3
个座位， 最后一排有94个座位。问：这个影剧院共有多少个座位？
第8讲巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称
为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项
与其相邻的前项之差都相 等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【思路导 航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是
52.要求项数，可直接带入项数公式进 行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
【答案】1.（39-1）÷2+1=20项
2.（101-2）÷3+1=34项
3.（1001-11）÷5+1=199项
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【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多
少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100
项，可根据“ 末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）×4=398
【例题3】有这样一个数 列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项
的和。
【思路导航】如果我 们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相
加，则得到（1+100 ）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个
小括号内的两个数的 和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数
列的和的2倍，再除以2.就是所求数 列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）
×100÷2=5050
上面的数 列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面
的公式求和：等差数列总和=（首项+末 项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
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（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【答案】（1）1275（2）2835（3）3280
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项 数是多少：项数=（末项－首项）÷公差
+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【答案】（1）72（2）4100（3）4185
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路导航】容易 发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先
分别求出它们各自的和，然后相减。
进 一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1～100这100个数分成了奇
数与偶数两个等差数列，每 个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数
列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求 出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
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=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
【答案】（1）4（2）1000（3）1000
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