物理公式高一高一数学数列求和的七大方法和技巧

数列求和的七大方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：



2、等比数列求和公式：


3、


4、


5、

[例1]
已知

，求

的前n项和.

解：由

由等比数列求和公式得

（利用常用公式）

＝

＝

＝1－


[例2]
设S
n
＝1+2+3+…+n，n∈N
*
,求

的最大值.

解：由等差数列求和公式得 ，
（利
用常用公式）

∴ ＝


＝

＝


∴ 当 ，即n＝8时，

二、错位相减法求和


这种方法是在推 导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
· b
n
}的前n项和，其中{ a
n
}、{ b
n
}分别是等差数列和等比数列.

[例3]
求和：

解：由题可知，{

的通项之积

设

………………………①

}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{

}
………………………. ②
（设制错位）

①－②得

（错位相减
）

再利用等比数列的求和公式得：


∴

[例4]
求数列

前n项的和.

解：由题可知，{

}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{

}的通项之积

设

…………………………………①

………………………………
②
（设制错位）

①－②得



（错位相减
）



∴

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数 列倒过来排列（反序），
再把它与原数列相加，就可以得到n个

.


[例5]
求证：

证明： 设

把①式右边倒转过来得

………………………….. ①



（反序）

又由

可得

…………..…….. ②

①+②得

（反序相加）

∴

[例6]
求

解：设

将①式右边反序得

的值

…………. ①

…………..
②
（反序）


又因为
①+②得
（反序相加）

＝89

∴ S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数 列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再 将其合并即可.


[例7]
求数列的前n项和：

，…

解：设

将其每一项拆开再重新组合得




（分组）

当a＝1时，

＝


（分组求和）

当时，

＝


[例8]
求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设


∴ ＝


将其每一项拆开再重新组合得

S
n
＝


（分组）

＝



＝


（分组求和）

＝


五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）分解 ，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解
（裂项）
如：

（1）

（2）


（3）

（4）


（5）

(6)


[例9]
求数列

的前n项和.

解：设


（裂项）

则
＝

（裂项求和）


＝


[例10]
在数列{a
n
}中，

列{b
n
}的前n项的和.

，又

，求数
解： ∵

∴
∴ 数列{b
n
}的前n项和


（裂项）


（裂项求和）

＝

＝

[例11]
求证：


解：设


∵


（裂项）

∴

＝


（裂项求和）


＝

∴ 原等式成立

＝

＝


六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质， 因此，在求数列
的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S
n
.


[例12]
求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S
n
＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵
（找特殊性质项）

∴S
n
＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°
（合并求和）

＝ 0

[例13]
数列{a
n
}：

解：设S
2002
＝

由



，求S
2002
.

可得


……


∵


（找特殊性质项）

∴ S
2002
＝



（合并求和）

＝



＝


＝

＝5


[例14]
在各项均为正数的等比数列中，若

的值.

解：设

由等比数列的性质

（找特

殊性质项）

和对数的运算性质 得



（合并求和）

＝

＝

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出 数列的通项及其特征，然后再利用数列的通
项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.


[例15]
求

之和.

解：由于

（找通项及特征）


∴
＝

（分组求和）

＝


＝


＝


[例16]
已知数列{a
n
}：

的值.

解：∵
（找通项及特
征）

＝

（设制分组）

＝

（裂项）

∴
（分组、裂
项求和）

＝


＝