逻辑公式非等差、等比数列求和的几种方法

非等差、等比数列求和的几种方法

一般的，数列求和应从通项入手，若无 通项，
先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列
有关或具备某种方法适用特点的形式 ，从而选择合适
的方法求和。下面谈谈数列求和的几种常用方法。

一、分组转化法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列。
若将其每一项拆 开，可分为几个等差、等比或常数列，
然后分别求和，再将其合并即可。像这样的数列求和
方法 称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项
变形。
例1.已知数列1，1+3，1 +3+32，…，1+3+32+…
+3n，…，该数列的前Sn项和______。
思路点拨：由题设可知，该数列的通项公式为：
an=1+3+32+…+3n= = （3n -1），而数列{3n}是等
比数列，{1}是常数列，于是可将该数列的每一项拆开
再重新组 合，从而转化为等比和常数列求和。
精解详析：由题设可知，该数列的通项公式为：
an=1+3+32+…+3n= = （3n-1），则
Sn= （3-1）+ （32-1）+ （33-1）+…+ （3n-1）
= [（3+32+33+……+3n）-（1+1+1+…+1）]
= [ -n]
=
二、裂项相消法求和
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在
求和时常用“裂项相消法”。用裂项法的关键是分析数
列的通项，考察是否能分解成两项的差，这两项 一定
要是同一数列相邻的两项，即这两项的结论应一致。
例2.数列{an}： ， + ， + + ， + + + ，…，那
么数列{bn}={ }前n项和为：______。
思路点拨：由已知条件可求得an，由an简化得
bn，从而考察数列bn的特征，进而运 用裂项相消法求
得数列{bn}的前n项和。
精解详析：
∵an= = =
∴bn= = =4（ - ）
∴Sn=4（1- + - + - +…+ - ）
=4（1- ）
例3.数列{an}的通项公式是an= 。若前n项和为
8，则项数n=______。
思路点拨：已知了数列{an}的通项 公式，则可先
观察该数列通项公式的特征，对其进行变形化简，再
求和，从何求出项数n。
精解详析：
∵an= = n+1- n
∴Sn=a1+a2+…+an
=（ 2-1）+（ 3- 2）+…+（ n+1- n）
= n+1-1
令 n+1-1=8n=80。
三、错位相减法求和
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求
数列{a n?bn}的前n项和时，一般是在和式的两边同乘
以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，这样的 方法
称之为错位相减法。
例4.（2010山东高考）设数列{an}满足
a1+3a2+32a3+…+3n-1an= （n∈N+）。
（1）求数列{an}的通项公式。
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn。
思路点拨：
（1）将已知等式中的n换为n-1，得另一等式，
两式相减即得an。
（2）利用通项公式an，先简化bn，考虑运用错
位相减法求Sn。
精解详析：
（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an= ……①
∴a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1= （n≥2）……②
∴①-②，得3n-1an=
∴an=
在①中，n=1a1=
∴an= （n∈N+）
（2）∵bn= ，∴bn=n?3n
∴Sn=3+2?32+3?33+…+n?3n……③
∴3Sn=32+2?33+3?34+…+（n-1）?3n+n?3n+1……
④
由④-③，得2Sn=n?3n+1-（3+32+33+…+3n）
∴2Sn=n3n+1-
∴Sn= + （n∈N+）