直径计算公式高中数列通项公式求法及数列求和

数列的综合应用



【
教学目标】：

1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。

【教学
重难点】：

1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或
等比数列问题来
解决.
4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】

知识要点梳理

知识点一：求数列通项公式的一般求法

1．公式法：
①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n项和公式，则。

2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出
不同部分与序号
n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：
（3）项若正负相间，注意用

3．累加法：
利用恒等式
式的方法；形如
公式常用此法。

4．累乘法：
（< br>求通项公
为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项
，
或
，，< br>表示。
，，，。
利用恒等式
的递推数列求通项公式常用此法。
求通项公式的方法；形如

5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变 形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列
有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常 用转化途径：
（1）把数列
等差或者等比
数列；
的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为
（2）一般地，对递推式为
均可用待定
，（为常数，）的数列,
系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设
得

求等比数列


6．数列通项与
的通项。
，利用已知得即，从而将数列转化为
的关系法：
如果已知条件是关于
将 条件转化为仅含或
、的关系式，可利用，
的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1 和n≥2两种
情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。

知识点二：数列应用题

在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.
1.复利的概念：
银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复
利.

2.分期付款
采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确
以下几点：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.
在选择分期付款方案 时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样
才便于比较，优化选择方案.

规律方法指导

求数列通项公式的常用方法总结：

1．公式法：
①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n项和公式，则。

2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。
3．累加法：
已知

4．累乘法：
已知，求通项公式常用此法。
（可求和），求通项公式常用此法。

5．转化法：
通过对递推关系 式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，
对递推式为，（为常数，）的数 列,均可用待定系数
得法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设
，利用已知得< br>的通项。

6．数列通项与的关系法：
即，从而将数列转化为求等比数列
已知
含或
、的关系式，利用，将条件转 化为仅
的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种
情况 讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。

7．先猜后证法：
根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。
类型一：观察法求数列的通项公式

1．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）2，11，101，1001，10001，…；
（3）3，0，3，0，3，…；
解析：
（1）各项正负相间，可用
23
表示；
各项分母是2―1，2
―1，2―1，……，
∴数列的一个通项公式为
（2）各项为10+1，10+1，10+1，10+1，
∴数列的一个通项公式。
0123
。
（3）因为1，0，1，0，……的通项为，
∴3，0，3，0，……的通项公式为。
总结升华：
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出
不同部分与序号
n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：
（3）项若正负相间，注意用
，
或
，，
表示。
，，，。

举一反三：
【变式】写出下面各数列的一个通项公式：
（1），，，，…。
（2）8，88，888，8888，88888，…
【答案】
（1），，，
∴数列的通项公式为。
（2）将数列改写为
∴.

类型二：累加法求数列的通项公式

2．求分别满足下列条件的数列
，； （2）
的通项公式
，
，可以判断数列
.
.
是等差数列，因此可
（1）
思路点拨：分析（1）题的结构
以利用通 项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，
但可以利用等差数列的通项公式的推 导过程中的方法（叠加法）求解.
解析：
（1）∵
∴
（2）∵
当





将上面



个式子相加得到：

时，
，
，
，
，
，∴数列是等差数列，且首项为
.
，公差为

∴
当
故
总结升华：
1. 在数列中，若
时，
.

（
符合上式
），
为常数，则数列
不是等差数列.
是等差数列；若不是
一个常数，而是关于的式子，则数列
2．当数列的递推公式是

举一反三：
【变式1】数列
【答案】
当





将上面


个式子相加得到：
时，
，
，
，
中，
，可以利用累加的方法求数列的通项公式.
，求通项公式.

∴
当
故

时，
.
（），

符合上式
【变式2】数列
【答案】
当





将上面

∴
当
故
时，


时，
，
，
，
中，，求通项公式.
个式子相加得到：

（），
符合上式
.

类型三：累乘法求数列的通项公式

3．求分别满足下列条件的数列的通项公式.
（1），； （2），.
思路点拨： 分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利
用通项公式求解，（2）题的结构与（1） 题相似，虽然不是等比数列，但可以利
用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解.
解析：
（1）∵
∴
，∴数列
.
是等比数列，且首项为，公比为
（2）∵，
当
将上面
时，，，，… ，
个式子相乘得到：

∴
当
故
总结升华：
时，
（
，
），
符合上式
.
1．在数列中
个常数，而是关
于的式子，则数列
，若为常数，则数列是等比数列；若不是一
不是等比数列.
2．当数列的递推公式是

举一反三：
，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.
【变式1】数列
【答案】
中，，求通项公式.

当
∴

时，
时，符合上式

，
【变式2】已知数列中，，（n∈N
+
），求通项公式.
【答案】
由得，∴ ，
∴，
∴当时，


当
∴

时，符合上式


类型四：转化法求通项公式

4．数列中，,，求.
思路点拨：对两边同除以得，得为等
差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴ ，
∴.
（为非零常数）的一类数列， 总结升华：对递推公式可变形为
两边同时除以 ，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的
数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再 求的通项.

举一反三：
【变式1】数列中，,，求.
【答案】∵，∴，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴，
∴

.
【变式2】在数列中，a
1
=1，，求。
【答案】由得。
∴是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴

。
5．已知数列中, ()，求的通项公式.
思路点拨：把
解析：
方法一：待定系数法
整理成，得数列为等比数列。
∵()，
∴,
∴,
令，则，
∴是首项为且公比为的等比数列，
∴,
∴
方法二：迭代法



=……



。

方法三：阶差法
①
②，
②-①得:
∴成等比数列且公比为，首项，
∴
∴当

时
,


当时，符合上式
.
∴
总结升华：
（1）递推公式为

（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为
线性递推数列。
当c= 1，d=0时它是常数列；当c=1，d≠0时它是等差数列；当c≠0，d=0时它是
等比数列。
（2）一般地，对已知数列
均可用以下
几种方法求通项公式。
①待定系数法：
的项满足，（为常数，）,
设
从而将数列

得，利用已知得即，
转化为求等比数列的通项。
②迭代法
③阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列
——等比数列的
问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数
学中的换元思想
和转化思想。

举一反三：
【变式1】已知数列
【答案】

∴，
，
中，，求
令
∴
∴
∴

，则
是首项为

公比为
，
的等比数列

【变式2】已知数列
【答案】
中，，求
令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故

.
【变式3】已知数列
【答案】
满足,而且，求这个数列的通项公式.
∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴

。
类型五：

与
6．数列
的关系式的综合运用

满足

是等比数列；
，，
（1）用表示
（2）证明：数列
（3）求和的表达式.
推出和，要证明是等比数列，只需利 思路点拨：由
用定义证明
和反过来求
解析：
（1）∵
是常数，这需要探求
或直接利用关系式
与的关系，再由等比数列
求.
的前n项
，∴
当

当
所以
（2）证明：∵
时，即
时 ,
.
,∴，显然,
，

所以数列
（3) 由（2）知：
∴
∴
方法一：

是等比数列，首项为
（常数），
，公比.
， 是以2为公比的等比数列，首项为
，即
,
，


方法二：
∵数列

的前n项和：

即
∴
方法三：
∵
∴
总结升华：
，∴，
.
，
.
，
①与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，
可利用n≥2时
，将条件转化为仅含或的关系式。注意分n=1和n≥2两种情况
讨论，若能统一，
则应统一，否则，分段表示。
②把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而
利用已知的通项
公式求出递推数列的通项公式.

举一反三：
【变式1】如果数列
A．
D．
的前n项和为
B．
，那么数列的通项公式是（ ）
C．
【答案】D
∵，
∴n≥2时，
∴
∴
∴

，即
是等比数列且a
1
=6
。

【变式2】已知数列
求。
中，，是数列的前n项的和，且，
【答案】将
将
变形为。
。 （n≥2）代入并化简，得
由已知可求得S
1
=a
1
=1。
∴
∴
∵，∴
是等差数列，公差为1，首项为1。
。
，∴
。
。
∴n≥2时，
而n=1时，a
1
=1也适合上式。
∴

【变式3】已知数列
（1）设
，
，证明
，
是等比数列并求；

的通项公式。
（2) 设
（3）求数列
【答案】
（1）∵
当
当
∴
∵
,证明是等差数列并求.
的通项公式.
,
时，
时，

，
，，

∴
∴数列
∴
（2）由(1)知:
，即(),
,公比为
.
. 是等比数列，首项为
,∴.
∴,即，
∴，即,
∴数列为首项,公差为的等差数列.
∴.
（3）由（2）知：

【变式4】在数列
成立.
（1）求
（2）求证
【答案】
（1）由已知得
又∵
若
，∴
，则当时，
矛盾，∴
，∴
的值；
是等差数列.
中，
，所以
，若存在常数，使得对任意的正整数，均有
，
，得
，即
，∴
，

或.
，得，
这与已知
当时，得
∵，∴，∴.
（2）由（1）知，
∴，
解得，即.
所以
即
又因为
所以数列成等差数列.
.
，
（常数），
求和：