法国巴黎大学排名-瓦特了什么意思
学生教案
数列求通项公式的方法
一、叠加法
1．适用于： a
n +1
=
a
n
+
f
(
n
)
----------
本的两个方法之一。
2．若
a
n 1
a
n
a
2
a
1
a
3
a
2
则
这是广义的等差数列
累加法是最基
f (n) (n 2)
，
f (1)
f (2)
a
n
1
a
n
f (n)
n
k 1
两边分别相加得
a
n
1
a
1
例 1 已知数列
f ( k)
{
}
a
n
满足
a
n 1
a
n
，
2n 1 a
1
，求数列
{ a }
的通项公式。
1
n
解：由
a
n 1
a
n
( a
n
a
n
2n
1
得
a
n 1
a
n
2n
1
则
a
n 1
) (a
n 1
a
n 2
)
( a
3
a
2
) (a
2
a
1
) a
1
[2( n
1)
1]
[2( n
2)
1]
(2
2
1)
(2 1
1)
1
2[( n
1)
(n
2)
2
1]
( n
1)
1
( n
1)n
2
( n 1)
1
2
( n 1)(n
1)
1
n
2
所以数列
{ a
n
}
的通项公式为
a
n
n
2
。
S
n
1
(a
n
例 2. 已知数列
{ a
n
}
中,
a
n
0
且
S
n
2
n
)
a
n
,
求数列
{ a }
n
的通项公式 .
S
n
1
(a
n
n
)
1
(S
n
S
n 1
n
S
n
)
n 1
解: 由已知
2
a
n
得
2
S
,
22
S
S
n
2
n
S
n
1
n
化简有
,
由类型 (1)
有
S
1
2
2 3
n
,
第1页共19页
学生教案
1
2
n(n
1)
2
2n( n
1)
又
S
1
a
得
a
1
1
,
所以
1)
S
n
,
又
a
n
0
,
s
n
2
,
a
n
2n(n
2n(n
1)
则
2
练习 1，已知数列
公式 .
a
n
的首项为 1，且
a
n 1
a
n
2n(n
N
*
)
写出数列
a
n
的通项
2
n
答案：
n
1
2)
a
n
a
n 1
1
n(n 1)
(n
练习 2.
已知数列
{ a
n
}
满足
a
1
3
，
，求此数列的通项公
式 .
答案：裂项求和
a
n
4
1
n
练习 3.
已知数列
a
n
满足
a
1
1
2
，
a
n 1
a
n
1
，求 a
n
。
n
2
n
解：由条件知：
a
n
1
a
1
n
1
n n( n
1)
1
n
1
n 1
n
2
分别令
n
1,2,3,
, (n
1)
，代入上式得
( n
1)
个等式累加之，即
(a
2
a
1
) ( a
3
(1 ) (
2
a
2
) (a
4
a
3
)
) (
(a
n
a
n 1
)
(
11 11
2
3
a
1
1
1
)
3
4
1
1
)
n 1
n
所以
a
n
1
n
1
2
a
1
，
a
n
1
2
1
1
n
3 1
2
n
评注：已知
a
1
a
,
aa
n 1n
f (n)
，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次
函数、指数函数、分式函数，求通项
a
n
.
;
①若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和
第2页共19页
学生教案
②若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和
;
③若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ④
若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。
二、叠乘法
1. 适用于：
a
n 1
f (n)a
n
----------
这是广义的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若
a
n 1
a
n
f (n)
，则
a
2
f (1)，
a
3
a
2
n
f (2)，
a
n 1
，
f ( n)
a
1
a
n
两边分别相乘得，
a
n 1
a
1
k 1
f (k)
a
1
例 3.
已知数列
a
n
满足
a
1
2
，
a
n 1
解：由条件知
a
n 1
3
n
a
n
，求
a
n
。
n
1
, (n 1)
，代入上式得
(n 1)
a
n
n
，分别令
n
1,2,3,
n 1
个等式累乘之，即
a
2
a
3
a
1
a
2
a
4
a
3
3
a
n
1 2 3
2 3 4
n 1
n
a
n
a
1
1
n
a
a
n
n 1
又
a
1
2
，
2
3n
练习 1. 已知数列
{ a
n
}
满足
a
n 1
解：因为
a
n
2( n
1)5
n
a
n
， a
1
3
，求数列
{ a
n
}
的通项公式。
1
2( n
1)5
n
a
n
， a
1
3
，所以
a
n
0
，则
a
n 1
2( n
1)5
n
，故
a
n
a
n
n 1
a
n
a
n
1
a
n
2
aaa
3 2
a
1
a
2
a
1
[2( n
1
1)5
n 1
][2( n
2
1)5
n 2
]
2
n
1
[ n(n
[2(2
2 1
1)
5
2
][2(1
1)
3
5
1
] 3
1)
5
2
3 2]
5
( n 1)
( n
2)
n( n 1)
3
2
n 1
n!
n ( n 1)
所以数列
{ a
n
}
的通项公式为
a
n
3
2
n 1
5
2
n!.
第3页共19页
学生教案
练习 2. 设
n
是首项为 1 的正项数列，且
a
n
1 a
n
2
1
na
n
2
aa0
n 1 n
（
n
=1
，
2
，
3，?），则它的通项公式是
n
=________.
解：已知等式可化为：
a
(a
n
1
a
n
) (n
1) a
n 1
na
n
a
0
n 1
n
n 1
a
n
0
(
n N
)
*
(n+1)
n
n
a
n 1
na
n
0
,
即
a
n
a
n
n
2
时，
a
n
1
a
n 1
a
n
a
n 1
a
n 1
a
n 2
a
2
a
1
n 1
a
1
n 1 n 2
1
1
1
=
n
n 1
2
= .
n
评注：本题是关于
根公式）得到
a
n
和
a
的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求
a
n
与
a
n 1
的更为明显的关系式，从而求出
a
n
.
练习 . 已知
a
n 1
na
n
n 1, a
1
1)
-1.
, 求数列 {an} 的通项公式 .
1
答案：
a
n
( n
1)! (a
1
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式
a
n 1
1 n( a
n
1),
若令
b
n
a
n
a
n 1
na
n
n
1,
转化为
形式，进而应
1
, 则问题进一步转化为
b
n 1
nb
n
用累乘法求出数列的通项公式 .
三、待定系数法
适用于
a
n 1
qa
n
f (n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列， 而数列的本质是一个函数， 其定义域是
自然数集的一个函数。
1．形如
a
n 1
ca
n
d, (c
n
0 aa
)
型
其中
,
1
（ 1）若 c=1 时，数列 {
a
} 为等差数列
} 为等比数列
第4页共19页
（ 2）若 d=0 时，数列 {
a
n
学生教案
（ 3）若
c 1
且d
0
时，数列 {
a
n
} 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法
构造辅助数列来求 .
待定系数法：设
得
a
n 1
c(a
n
)
,
1
a
n 1
ca
n
(c
1)
, 与题设
a
n
ca
n
d ,
a
n
比较系数得
d
c
1
(c 1)
d
d
, (c 0)
c
1
c(a
n 1
d
)
c 1
, 所以
d
所以有：
a
1
a
n
d
因此数列
a
n
d
c 1
c
1
构成以
(a
1
c
1
为首项，以 c 为公比的等比数列，
d
) c
n 1
c 1
n
a
n
(a
1
d
) c
n 1
c 1
c( a
n
d
c 1
.
所以
即：
a
n 1
d
d
c 1
)
规律：将递推关系
a
n 1
cad
化为
{ a
n
c
d
}
1
从而求得通项公式
a
c
n 1
1
, 构造成公比为 c
d
1
c
c
n 1
(a
1
d
)
c 1
的等比数列
例 4. 已知数列
{ a
n
}
中，
a
1
1,a
n
2a
n
1
1(n
2)
，求数列
a
n
的通项公式。
解：
a
n
a
n
2a
n
1
1(n 2),
1
2(a
n 1
1)
又 a
1
1
2,
a
n
1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列
2
n
1
a
n
1 2
n
，即 a
n
四．逐项相减法（逐差法
1）：有时我们从递推关系
有
a
n 1
ca
n
中把 n 换成 n-1
d
a
n
cad
n 1
,
两式相减有
a
n 1
a
n
c(a
n
a
n 1
)
从而化为公比为 c 的等比数
, 进而求得通项公式 .
a
n
1
a
n
1
得通项公式 . 我们看到此方法比较复杂
.
列
{ a
n
a
n
}
c
n
( a
2
a
1
)
,
再利用类型
(1)
即可求
第5页共19页
学生教案
例 5 已知数列
{ a
n
}
中，
a
1
1,a
n
2a
n 1
1(n 2)
，求数列
a
n
的通项公式。
解：
a
n 1
a
n
2a
n
2a
n 1
1(n 2),
1
两式相减得
a
n 1
a
n
2(a
n
a
n 1
)(n 2)
，故数列
a
n 1
a
n
是首项为 2，公比为 2
的等比数列，再用累加法的??
1
1
练习
．已知数列
{ a
n
}
中，
a
n
a
1
2, a
n 1
2
a
n
2
求通项
,
a
n
。
(
1
)
n 1
2
1
答案：
2．形如：
ap
n 1
a
n
q
n
(
其中 q 是常数，且 n
0,1)
①若 p=1 时，即：
②若
a
n 1
a
n
a
n
1
q
n
，累加即可 .
a
n
q
n
，
p 1
时，即：
p
求通项方法有以下三种方向： i.
数列
n 1
p
两边同除以
. 目的是把所求数列构造成等差
a
n 1
n
( )
a
n
q
n
1 p
p q
即：
p
n 1
b
n
a
n
, 令
p
n
，则
b
n 1
b
n
1 p
p q
n
( )
, 然后类型 1，累
加求通项 .
ii. 两边同除以
q
n 1
. 目的是把所求数列构造成等差数列。
1
q
,
b
n 1
a
n
1
p
a
n
q
q
n
即：
b
n
q
n 1
a
n
n
p
b
n
1
. 然后转化为类型
5 来解，
令
q
, 则可化为
q
iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
q
设
a
n 1
q
n 1
p(a
n
p )
n
.通过比较系数，求出 ，转化为等比数列求通项
.
注意：应用待定系数法时，要求
p
q，否则待定系数法会失效。
2a
n
例6已知数列
{ a}
n
满足
a
n 1
4 3
n 1
，
a
1
，求数列
a
的通项公式。
1n
第6页共19页
a
n 1
解法一（待定系数法）：设
则数列
所以
a
n
4 3
n 1
1
3
n
2
(a
n
1
学生教案
3
n 1
)
，比较系数得
4,
2
2
，
是首项为
a 4 3
1 1
1
5
，公比为 2 的等比数列，
a
n
4 3
n 1
5 2
n 1
，即
a
n
4 3
n 1
5 2
n 1
a
n 1
2
a
n
n 1
3
3
3
n
得：
n 1
4
解法二（两边同除以
略
q
n
1
）： 两边同时除以
3
n
1
3
2
，下面解法
a
a
n
4
3
n
解法三（两边同除以
n
1
）： 两边同时除以
2
n
1
得：
2
n 1
2
n
法略
p
3
(
2
)
，下面解
练习 .
已知数列
a
n
中，
a
1
5
6
,
a
n 1
1
a
n
( )
n 1
，求
a
n
。
2
1
3
解：在
a
n
1
令 b
n
2
n
1
a
n
(
1
)
n
1
两边乘以
2
n 1
得：
2
n 1
a
n 1
3
2
2
a
n
，则
b
n 1
b
n
1
,
应用例
7
解法得：
b
n
3
3( )
2
所以
a
n
b
n
2
n
1
n
2( )
n
3
1
2
(2
n
a
n
)
1
3
2
n
3
2( )
3
3
．形如
a
n 1
pa
n
knb
(
其中
k,b
是常数，且
k 0
)
方法 1：逐项相减法（逐差法）
方法 2：待定系数法
通过凑配可转化为
解题基本步骤：
1、确定
(a
n
xn
y)
p( a
n 1
x(n
1) y)
;
f ( n)
=kn+b
2、设等比数列
3、列出关系式
b
n
(a
n
xn
y)
y)
，公比为 p
x(n
(a
n
xn
p( a
n 1
1)
y)
,
即
bpb
nn 1
4、比较系数求 x,y
5
、解得数列
n
(axn y)
的通项公式
6、解得数列
a
n
的通项公式
第7页共19页
学生教案
例 7
在数列
{ a
n
}
中，
a
1
1, a
n 1
3a
n
2n,
求通项
a
n
.
（逐项相减法）
解：
，
a
n 1
n
2
时，
3a
n
2n,
①
a
n
3a
n
1
2(n
1)
，
两式相减得
a
n 1
a
n
3( a
n
a
n
1
)
2
.
令
b
n
a
n 1
a
n
,
则
b
n
3b
n 1
2
利用类型 5 的方法知
a
n
b
n
5 3
n 1
2
即
a
n
1
a
n
5 3
n 1
1
②
5
2
3
n 1
n
1
2
.
再由累加法可得
a
n
亦可联立
①
②解出
5
2
3
n 1
n
1
2
.
练习 .
在数列
{ a}
a
1
3
2
,2a
n
a
n 1
6n
3
n
中，
, 求通项
1)
a
n
. （待定系数法）
解：原递推式可化为
2(a
n
xn
y)
a
n
1
n
x( n
y
比较系数可得： x=-6,y=9,
上式即为
2b
b
n 1
所以
即：
a
n
b
n
b
1
a
1
6n 9
9
1
b
n
9
(
1
)
n 1
2 2
是一个等比数列，首项
6n
9
2
a
n
9 ( )
n
2
9
1
,公比为 .
2
故
9 ( )
n
6n
2
1
.
5. 形如
a
n 2
pa
n 1
qa
n
时将 a
n
作为
f
( n)
求解
分析：原递推式可化为
得
，数列 a
n 1
a
n 2
a
n 1
( p
)(a
n 1
a
n
)
的形式，比较系数可求
a
n
为等比数列。
例 8
已知数列
{ a
n
}
满足
a
n 2
解：设
5a
n 1
6a
n
, a
1
a
n
)
1,a
2
2
，求数列
的通项公式。
{ a
n
}
a
n 2
a
n 1
(5
)(a
n 1
第8页共19页
学生教案
比较系数得
3
或
2
，不妨取
2
，（取
-3
结果形式可能不同，但本质
相同）
则
a
n 2
2a
n
1
3(a
2a)
n 1
n
，则
a
n 1
2a
n
是首项为 4，公比为 3 的等比数列
a
n 1
2a
n
4 3
n 1
，所以
a
n
4 3
n 1
5 2
n 1
练习 1.
数列
{ a
n
}
中，若
a
1
答案：
8, a
2
2
, 且满足
a
n 2
4a
n 1
3a
n
0
, 求
a
n
.
a
n
n
3
.
11
练习
2.
已知数列
{ a
n
}的各项都是正数
,
且满足
:
a1, a
0
1
n 1
2
a
n
(4 a
n
), n N
，
求数列
{ a
n
}
的通项公式 an.
a
n 1
1
2
a
n
(4
a
n
)
1
2
[ ( a
n
2)
2
4],
解：
令 b
n
所以
2
2(a
n 1
2)
( a
n
2)
2
a
n
2, 则b
n
1
1
b
n
1
2
11
( b
n
2
)
2
1
(
1
)
2
b
n
2
2
1
2
2
(
1
)
1 2
2
2
n 1
b
n
2
n
2
b
n
2
2
又
bn=－ 1，所以
( )
2
n
1
,即 a
n
2 b
n
2
2 (
1
)
2
n
1
2
.
方法 2：本题用归纳 - 猜想 - 证明，也很简捷，请试一试 . 解法 3：设 c
n
b
n
，则
1
n
c
2
c
n
2
1
, 转化为上面类型（ 1）来解
五、倒数变换法
适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例 9 已知数列
{ a
}
满足
a
n 1
2a
n
n
a
n
, a
1
1
，求数列
{ a }
的通项公式。
2
n
解：求倒数得
1
1 1
,
2 a
n
1
1
a
n
1
,
2
1
1
为等差数列，首项
a
n
1
1 ，
a
n 1
a
n 1
a
n 1
a
1
第9页共19页
学生教案
公差为 ，
1
1
2
1
(n
1),
a
n
2
n
a
n
2
1
a
六、对数变换法
例 10.
式 .
pa
r
a
n
0
适用于
a
n
n 1
n
设正项数列
满足
a1
1
(其中
p,r
为常数)型
p>0
，
2a
2
a
n
a
，
n
n 1
（n≥2）. 求数列
的通项公
log
2
a
log
n
2
a
n
2(log
2
a
n 1
a
n
ogl
2
1
a
n 1
2 log
2
1
1)
b
n
解：两边取对数得：
则
，
，设
log
1
2
1
1
，
b
n
2b
n 1
b
n
是以 2 为公比的等比数列，
a
n
b
1
1
1
b
n
1
2
n 1
2
n 1
，
log
2
1
2
n 1
，
log
2
a
n
2
n
1
1
，∴
a
n
2
2
n
1
练习 数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
答案：
2 a
n 1
（n≥2），求数列
a
n
的通项公式 .
a
n
2
2 2
2 n
例 11 已知数列
{
a
n
}
满足
a
n 1
2
3
n
a
n
5
，
a
1
解：因为
a
n 1
7
，求数列
{ a
n
}
的通项公式。
n 1
2
3
n
a
n
5
， a
1
7
n
，所以
a
0， a
0
。
两边取常用对数得
lg a
n 1
5lg a
n
设
lg a
n 1
x(n
1) y
比较系数得，
nlg3
lg 2
5(lg a
n
xn y)
（同类型四）
1
由
lg a
1
lg3
lg3
4
n
lg a
n
4
lg3
, y
lg3
lg 2
4
16
4
lg3
lg 2
lg3
1
lg 7
16
4
4
lg3
lg 2
0
，
16
4
x
所以数列
{lg a
n
lg3
n
4
lg3
16
lg 2
4
lg3
16
lg 2
4
0
，得
}
是以
lg 7
lg3
lg3
4
16
lg 2
4
lg 2
4
为首项，以 5 为公比
的等比数列，则
lg a
n
lg3
n
lg3
4
16
(lg 7
lg3
lg3
4
16
lg 2
)5
n 1
，因此
4
第10页共19页
学生教案
lg a
n
(lg 7
lg 3
lg 3
lg 2
)5
n
1
lg 3
n
lg 3
lg 2
4
16
4
4
6
4
1 1 1
1
n 1 1
[lg(7
3
4
3
16
2
4
)]5
n
1 1
1
lg(3
4
n
3
16
1
2
4
)
1
lg(7
3
4
3
16
2
4
)
5 n 4n 1
5
n
1
lg(3
4
3
16
2
4
)
1
5
n 1
lg(7
5 n 1
3
16
2
4
)
5n 4 n 1
n
5
1
1
则 a
n
7
5
n 1
3
16
2
4
。
七、换元法
适用于含根式的递推关系
例 12 已知数列
{ a
n
}
满足
a
n 1
1
(1
4a
n
1 24a
n
)， a
1
1
，求数列
{ a
n
}
的通项
16
公式。
解：令 b
n
代入
a
n 1
1
24a
n
，则
a
n
1
1
(b
n
2
1)
24
1 24a
n
)
得
1
16
(1
4a
n
(b
n
2
1
1)
1
[1 4 (b
n
2
1) b
n
]
24
1
24
16
即 4b
n
2
1
(b
n
3)
2
因为 b
n
1
24a
n
0
，
则
2b
n 1
b
n
3
，即
b
n 1
b
n
3
，
1
可化为
b
n 1
3
所以
b
n
{
3}
1
(b
n
2
2
2
3)
，
是以 b
1
3
1 24a
1
3
1
24 1
3
2 为首项，以 为公比的等
n 2
1
2
比数列，因此
b
n
3
1
n 1
2(
)
2
1
n 2
，则
b
n
(
)
2
( )
1
3
，即
1 24 a
n
( )
1
n 2
2
3
，
2
得
a
n
( )
3
21
n
4
(
1
)
n
2
1
。
3
八、逐差法 2（逐项相减法）
1、递推公式中既有
S
n
，又有 a
n
分析：把已知关系通过 a
n
S
1
,n
S
n
1
S
n 1
, n 2
转化为数列
a
n
或 S
n
的递推关系，然
第11页共19页
学生教案
后采用相应的方法求解。
例 13
已知数列
{ a
n
}
的各项均为正数，且前
n
项和
S
n
满足
S
n
1
(a
n
1)(a
n
2)
，
6
且
a
2
, a
4
, a
9
成等比数列，求数列
{ a
n
}
的通项公式。
解：∵对任意
n
N
有
S
n
1
( a
1)(a
n
n
2)
⑴
∴当 n=1 时，
S
1
a
1
当 n≥2 时，
S
n 1
1
6
1
( a
1
1)(a
1
2)
，解得
a
1
1
或
a
1
2
6
(a
n 1
1)(a
n 1
2)
⑵
6
⑴ - ⑵整理得：
(a
n
a
n 1
)( a
n
a
n 1
3)
3
0
∵
{ a
n
}
各项均为正数，∴
a
n
a
n 1
当
a
1
1
时，
a
n
3n
2
，此时
a
4
2
a
2
a
9
成立
当
a
1
2
时，
a
n
3n
2 9
1
，此时
a
2
a a 不成立，故
a
1
2
舍去
4
所以
a
n
3n 2
练习。已知数列
{ a
n
}
中,
a
n
0
且
S
n
1
(a
n
1)
2
,
求数列
{ a
n
}
的通项公式
.
2
n 1
答案：
S
n
(a
n
1)
2
(a
n 1
1)
2
a
n
a
n
2n
1
2、对无穷递推数列
例 14 已知数列
a
，求
{ a }
，
{
}
(n 1)a
n 1
(n 2)
n
满足
a
1
1 a
n
a
1
2a
2
3a
3
n
S
的通项公式。
解：因为
a
n
a
1
2a
2
3a
3
(n 1)a
n 1
(n 2)
(n 1)a
n 1
na
n
①
②
所以
a
n 1
a
1
2a
2
3a
3
用②式－①式得
a
n 1
a
n
na
n
.
则
a
n
1
(n
1)a
n
(n
2)
故
a
n
a
n
1
n 1(n
2)
所以
a
n
a
n
a
n
1
a
n 1
a
3
a
2
[ n(n
1)
a
2
4
3]a
2
n!
2
a
2
.
③
a
n 2
由
a
n
a
1
2a
2
3a
3
(n 1)a
n 1
(n 2)
，
取 n
2得 a
2
a
1
2a
2
，则
a
2
第12页共19页
a
1
，又
学生教案
知
a
1
1
，则
a
2
1
，代入③得
a
n
n!
1 3 4 5n
n!
。
2
.
所以，
{ a
n
}
的通项公式为
a
n
2
数列的通项公式与求和
练习 1
的前 项为
且
，
1
{a
n
}
S
n
,
a
1
1 a
n 1
3
S
n
(n 1,2,3, )
n
(1)求 a
2
, a
3
, a
4
的值及数列 { a
n
}的通项公式 .
(2)
求a
2
a
4
数列
a
2n
练习 2
数列
的前 项和记为
已知
，
a
证明
n 2
n 1
{ a
n
}
S
n
,
n
a
1
1
n
S
n
(n 1,2, ).
:
(1)数列{
S
n
} 是等比数列 ;
(2) S
n 1
n
4a
n
练习 3
已知数列 { a
n
}的前 n项为 S
n
， S
n
1
(a
n
1)(n N
*
)
3
(1)求 a
1
, a
2
(2) 求证 : 数列 { a
n
} 是等比数列 .
第13页共19页
已知数列 { a
1
n
}满足 a
1
, a
n 1
a
n
1
,求 a
n
.
练习 4
2
n
2
n
2
n
a
练习 5
已知数列 { a
}满足 , a
, a
n1
n 1
, 求 a
n
.
n
3
n
1
已知数列 { a
5
n
}中, a
1
, a
n 1
1
a
n
1
( )
n 1
, 求 a
n
.
练 习 6
6
3
2
a
n 1
练习 7
已知数列 { a
n
}满足 : a
n
， a
1
1,求数列 { a
n
}的通项公式
3 a
n 1
1
练 8
若等比数列
{ a
n
}
的前 n 项和 S
ｎ
＝2
ｎ
－１，则
a
2
a
2
a
2
a
2
1
2
3
n
第14页共19页
学生教案
.
学生教案
5
(10
n
1)
练习 9
求和： 5，55，555，5555，?，
9
，?；
1
练习 10
1
4 7
1
(3n 2) (3n 1)
求和：
1 4
练习
11
已知求和：
1
1
1
2
1
1
2
3
1
1
2
3
n
练习12
设
{ a
n
}
是等差数列，
{ b }
n
是各项都为正数的等比数列，且
b
3
13
a
1
b
1
1
，
a
3
b
5
21
，
a
5
（Ⅰ）求
{ a}
n
，
{b}
n
的通项公式；
a
n
（Ⅱ）求数列
b
n
的前 n 项和
S
n
．
第15页共19页
答案
4
练习 1 答案：
a
1
, a
, a
16
2
3
3
9
4
27
1
n
1
a
n
1
(
4
)
n 2
n
2
3
3
练习 2
证明：
(1) 注意到： a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)(n+1)=S(n)n*2
又 S(1)1=a(1)1=1 不等于 0
所以 {S(n)n} 是等比数列
(2)
由 (1) 知，
{S(n)n}
是以 1 为首项， 2 为公比的等比数列。
所以 S(n)n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即 S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入 a(n+1) ＝S(n)*(n+2)n
得
第16页共19页
学生教案
3
[(
4
)
2 n
1]
7
3
学生教案
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n
即 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n
属于 N)
属于 N 且 n>1)
又当 n=1 时上式也成立
所以 a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n
属于 N)
由 (*) 式得：
S(n+1)=(n+1)*2^n
=(n+1)*2^(n-2)*2^2
=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知： S(n+1)=4*a(n
练习 3
答案：
1)
a1=S1=13(a1-1)
a1=-12
a2=S2-S1=13(a2-1)+12
3a2=a2-1+32
2a2=12
a2=14
2)
3Sn=an-1
3S(n-1)=a(n-1)-1
相减：
3an=an-a(n-1)
2an=-a(n-1)
ana(n-1)=-12
所以 {an} 为等比数列！
a
n
3
2
2
1
n
练习 4
累加法，答案：
a
n
3n
3( )
2
1
3n
2
练习 5
累乘法，答案：
a
n
1
n
2( )
n
3
1
练习 6
待定系数法，答案：
a
n
练习 7
倒数法，答案：
第17页共19页
学生教案
4
n
1
3
练习 8
公式法，答案：
n个
5
n个
练习 9
答案：
S
n
(9
99
999
99
9)
5
55
555
55
5
9
5
[(10
1)
9
5
[10
10
2
9
(10
2
1)
(10
3
1)
(10
n
1)]
50
(10
n
1)
5
n
81
n
10
3
10
n
n]
9
．
练习 10
，列项相消法，答案
3n
1
练习 11，, 列项相消法
1(1+2+3+ ?? +n)=1[n(n+1)2]=2[n(n+1)]
所以原式 =1+22*3+23*4+ ?? +2[n(n+1)]
=1+2*[(12-13)+(13-14)+
?? +(1n-1(n+1)]
=1+2*[12-1(n+1)]
=2-2(n+1)
练习 12
（错位相减法）
答案：解：（Ⅰ）设
a
n
q
的公差为 ，
db
n
的公比为 ，
21，
q
1
2d
q
4
则依题意有
0
且
1
4d
q
2
13，
解得
d 2
，
q 2
．所以
a
n
1
(n
1)d 2n 1
，
2n 1
a
n
b
n
q
n 1
2
n 1
．（Ⅱ）
b
n
5
2
2
2n
2
n 1
S
n
．
1
2
1
2S
n
3
3
2n
1
2
n 2
5
2
n 1
，
3
2n 1
2
3
2n
①
2
2
n 3
2
n 2
，②
②－①得
第18页共19页
学生教案
S
n
2
2
2
2
2
2n
1
2
2
2
2
1
2
n 2
1
2
n 1
，
2
1
2
1
2
2
2n
1
2
n 2
2
n 1
1
1
2
n 1
2n
1
2
2
1
1
2
n 1
2
6
2n
3
2
n 1
．
第19页共19页
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