k的公式等比数列求和公式

等比数列求和公式
等比数列求和公式

万年历 2013年3月6日 星期三 10:43 癸巳年 正月廿
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等比数列的通项公式
等比数列求和公式 (1) 等比数列：a (n+1)an=q (n∈N)。
(2) 通项公式：an=a1×q^(n-1)；
推广式：an=am×q^(n-m)；
(3) 求和公式：Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)(1-q) =(a1-an*q)(1-q) (q≠1)
(q为比值，n为项数）
(4)性质：
①若 m、n、p、q∈N，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am*an=aq^2
(5) 是a、b的等比中项（G ≠ 0）
(6)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零.
注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列
如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比等
于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
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等比数列求和公式

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
若通项 公式变形为an=a1q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则
可把an看作自变量n的函数，点(n ,an)是曲线y=a1q*q^x上
的一群孤立的点。

（2）等比数列求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)(1-q)
=(a1-a1q^n)(1-q)
=(a1-an*q)(1-q)
=a1(1-q)-a1(1-q)*q^n ( 即A- Aq^n)
(前提：q≠ 1)
任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可
以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈
{1,2,…,n}
（4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π
2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构
成一个等差数列；反之，以任一个正 数C为底，用一个等差
数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义
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下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义：从第二项起，每一项（有穷数列和末项
除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。
（5）无穷递缩等比数列各项和公式：
无穷递缩等比数列各项和公式：对于等比数列 的前n
项和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各
项和。
性质
①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am*an=ap*aq；
②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
③若（an）是等比数列，公比为q1，（bn）也是等比数
列，公比是q2，则
（a2n），（a3n）…是等比数列，公比为q1^2，q1^3…
（can），c是常数， （an*bn），（anbn)是等比数列，公比
为q1，q1q2，q1q2。
（4）按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列。
（5）等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段
和为等比。
（6）若（an）为 等比数列且各项为正，公比为q，则（log
以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的 对数。
(7) 等比数列前n项之和
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Sn=A1(1-q^n)(1-q)=A1(q^n-1)(q-1)=(A1q^n)(q-1)-A1( q-1)
(8) 数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K
也是等比数列，
在等比数列中，首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可
以写成an*qa1=q^n ，它的指数函数y=a^x有着密切的联系，
从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。

求等比数列通项公式an的方法： （1）待定系数法：已
知a（n+1）=2an+3，a1=1，求an
构造等比数列a（n+1）+x=2（an+x）
a（n+1）=2an+x，∵a（n+1）=2an+3 ∴x=3
所以a（n+1）+3an+3=2
∴｛an+3｝为首项为4，公比为2的等比数列，所以
an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
等比数列的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如：银行有一种支付利息的方式——复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，
在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^
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存期
等比数列小故事：
根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今 见诸
于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，
有位印度教宰相见国王自负虚浮 ，决定给他一个教训．他向
国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被
一群溜须 拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方
式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新 奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴
之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放
1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个 格子上放4粒，第
四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒
都必须是前一个格 子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第
64格放满为止，这样我就十分满足了． “好吧！”国王哈哈
大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．
这位聪明的宰相到 底要求的是多少麦粒呢？稍微算一
下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63= 2^64-1，直接
写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总
和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那
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么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或
在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他
欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远 也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件
事，他笑着对 国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1+1=2
一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难 道你要我
把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有
必要啊，陛下。其实，您只 要让宰相大人到粮仓去，自己数
出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，
446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约
是5800亿年（大家可 以自己用计算器算一下！）。就算宰相
大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那
些麦粒中极小的一部分。这样的话，就不是陛下无法支付赏
赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。 ”国王恍然大悟，
当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片 刻后笑道：“陛下啊，您的智
慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后
宰相还 是获得了很多赏赐（没有麦子）。

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