箍筋计算公式错位相减法在数列求和中的应用

错位相减法在数列求和中的应用

近年来，高考中数列问题正向多元化发展，命题中 含有复合数列屡见不鲜.要
想在高考中从容应对,就需熟练掌握等差、等比数列的有关知识,同时要善于 把非等
差等比数列转化为等差等比数列来求解.现对数列求和的方法---- 错位相减法简要
分析如下：

一.利用错位相减法推导等比数列求和公式.

已知等比数列
,它的前项和是
,根据等比数列的通项公式,上式可写成





的两边乘
得



的两边减去

的两边,得


当
时,等比数列的前项和的公式






又因为
所以上面公式可写成


当
时，


点评：通过将

式的左右两边同时乘以公比
,使

式与

式产生错位后相减得出
.

二、应用错位相减法求和

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对 应项乘积组成，此
时求和可采用错位相减法.

例1、求数列
的前

项和

分析：数列







成等差数列，数列

成等比数列，此例用错位相减法可达到目的.同时应注意
和
两种情况.

解：若
，则

若
,则

式两边同乘以
，得

减去
得


所以

















点评：这个数列可以看成一个等差数 列和一个等比数列的对应项的乘积，这
种数列我们称为“混合数列”，解决这类问题的常用方法是：依照 等比数列前项和
公式的推导方法——错位相减法，特别注意分和两种情况讨论.

例2、（2007全国卷文，21题）设
是等差数列，
是各项都为正数的等比数列，且
,
,
.

求
,
的通项公式.

求数列
的前项和
.

解：
设
的公差为













，
的公比为
则依题意有
>0且



解得
所以,
,


,



减去


















得


=




=


点评：本题主要考查数列的概念，等差数列，等比数列，及求数列前项和的
方法等基础知识，考查运算能力.第

问就运用了混合数列的求和方法---- 错位相减法.