33魔方公式等差数列前n项和教学设计

等差数列的前n项和

一、教材分析
等差数列的前ｎ项和是数列高考中的重要内容，也是数列研究的基本问题。在现实生活
中，等差数列求和问题的实例也比比皆是，等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ
项和提供了一种重要方法．
教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法， 接着推广到一般情况，
推导出等差数列的前ｎ项和公式。为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究， 弄清等差
数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题。
二、教学目标

1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培
养学生抽象概括能力。
2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力。
3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法。
三、教学内容
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用。对公式的推导，为便于学生理解，
采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100
的高斯 算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差
数列中任意的第ｋ项 与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列
前ｎ项和的一般方法，这样自然地 过渡到一般等差数列的求和问题。对等差数列的求和公式，
要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前 ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关
系。为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并 通过对具体实例的分析，引导学
生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发 现等差数列的模型，
恰当选择公式。对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展 延伸。
四、教学重点
这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题。




五、教学难点
这节内容的难点是前ｎ项和公式推导思路的形成。
六、教学用具

实物投影仪，多媒体软件，电脑.
七、教学方法
讲授法.
八、教学设计

（一）、知识回顾
1、等差数列的定义：
{an }是等差数列 an-a(n-1)=d（n≥2）
2、通项公式：
an=a1+（n-1）d
3、重要性质：
（1）an=am+(n-m)d
(2) m+n=p+q am+an=ap+aq

（二）、问题情景

1. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提 出问题：“1＋2＋3＋…＋100
＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？
他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝
5050。
2. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋ｎ的和。
3. 高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？
（三）、建立模型
1. 数列的前ｎ项和定义
对于数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝ 的前ｎ项和，用Sn表示，
即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn。




2. 等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？
对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
Sn＝a1+（a1+d）+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]
， ①
依据高斯算法，将Sn表示为
Sn＝an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d ]
。 ②
由①+②，得 2s=（a1+an）+（a1+an）+……+（a1+an）=n（a1+an）
由此得到等差数列的前n项和公式
Sn=n（a1+an）2
小结：这种方法称为反序相加法，是数列求和的一种常用方法。
（2）结合通项公式
a
n＝a1+(n-1)d，又能得怎样的公式？

（3）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？

学生讨论后，教师 总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是
前者还须要知道ａn，后者还须要知 道ｄ。因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式。
公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了 等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和
都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于 ｎ的没有常数项的“二次函数”。
(四)、解释应用
［例 题］
1. 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn。
（1）ａ1＝ —4，ａ8＝ —18，ｎ＝8．
（2）ａ1＝14．5，ｄ＝0.7，ａn＝32．
注：恰当选用公式进行计算。
2. 已知一个等差数列｛ａn｝前10项的和是310，前2 0项的和是1220．由这些条件能
确定这个等差数列的前ｎ项和的公式吗？
分析：将已知条 件代入等差数列前ｎ项和的公式后，可得到两个关于ａ1与ｄ的关系式，
它们都是关于a1与d的二元一 次方程，由此可以求得a1与d，从而得到所求nｎ项和的公
式。




解：由题意知
S10=310 20=1220
代入公式

解得：

注：（1）引导学生认识到等差数列前ｎ项和公式，就是一个关 于ａn，a1,n或者a1，n，
d的方程，使学生能把方程思想和前n项和公式相结合，再结合通项公 式，对a1，d，n，an
及Sn这五个量知其三便可求其二。
（2）本题的解法还有很多， 教学时可鼓励学生探索其他的解法，可以引导学生灵活运
用公式。

3. 2000年 11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》．某
市据此提出了实施“校校通 ”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建
成不同标准的校园网．据测算，20 01年该市用于“校校通”工程的经费500万元．为了保
证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比 上一年增加50万元．那么从2001年起的未来
10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
引导学生分析：每年“校校通”工程的经费数构成公差为50的等差数列．问题实质是
求该数列 的前10项的和．
解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比 上一年增
加50万元．所以，可以建立一个等差数列｛ａn｝，表示从2001年起各年投入的资金，其
中，a1=500，d=50。
那么，到2010年（ｎ＝10），投入的资金总额为
s10
s
s
10=10×500+10×（10-1）×50÷2=7250
注：引导学生规范应用题的解题步骤．
4、在等差数列{a_n }中，已知d=12，an=32， sn=-152，求a1及n
解： an= a1+（n-1）d=32 ，sn= na_1+(n（n-1）d)2 = -152
答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元．




四、归纳与总结
1、等差数列前n项和概念
sn= a1+a2+a3+······+an
2、等差数列前n项和公式
（1）Sn=n（a1+an）2
（2）
3、通项公式与求和公式中共有a1、 d、n、an、sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可
求其余两个。
［练 习］
1. 一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10kmh开始，每隔2ｓ速度
提 高20kmh。如果测试时间是30s，测试距离是多长？
2、等差数列{a_n }的前n项和s_n，已知a_5=8，s_3=6，求s_n的表达式。
3. 求集合M＝｛m｜m＝2n—1，n∈N*，且m<60｝的元素个数，并求这些元素的和。
4、已知等差数列{an }中，前10项和为245，前30项和为1147.5，求a1和d。
五、思考题
1. 已知数列｛ａn｝的前ｎ项和Sn＝n^2＋n，求这个数列的通项公式． 这个数列是等差
数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解：根据






由此可知，数列｛ａn｝是一个首项为，公差为2的等差数列．
思考：一般地，数列｛ａn｝ 前ｎ项和Sn＝An^2＋Bn（A≠０），这时｛ａn｝是等差
数列吗？为什么？
六、作业
课本 P44 3、6


沁园春·雪

北国风光， 千里冰封， 万里雪飘。
望长城内外， 惟余莽莽； 大河上
下， 顿失滔滔。
山舞银蛇， 原驰蜡象， 欲与天公试
比高。
须晴日， 看红装素裹， 分外妖娆。
江山如此多娇， 引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武， 略输文采； 唐宗宋
祖， 稍逊风骚。




一代天骄， 成吉思汗， 只识弯弓射
大雕。
俱往矣， 数风流人物， 还看今朝。
克

出师表
两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三 分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣
不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲 报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光
先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路 也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其
刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆 良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚
以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补 阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举 宠为督：
愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人 ，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，
每与臣论此事，未尝不叹息痛恨 于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，
愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而 待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于
败军之际 ，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧 叹，恐托付不效，以伤先帝之
明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中 原，庶竭驽钝，
攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进 尽
忠言，则攸之、祎、允之任也。




愿陛下托 臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责
攸之、祎、允等之慢，以彰 其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感激。
今当远离，临表涕零，不知所言。