电压的公式特殊数列求和的方法

浅谈特殊数列求和的方法
【摘 要】特殊数列求和所用的裂项相消法、错位相减法、分组< br>求和法这三种常规的、重要的方法课本没有相关的例题介绍，根据
特殊数列的不同特点和结构对特 殊数列的求和进行了分类，通过一
些具体例子归纳出特殊数列求和的方法，对求和出现的问题研究了六点对策。
【关键词】特殊数列；裂项相消法；错位相减法；分组求和法
纵观近几年来 的高考试题，数列一直被列为重要考察内容之一，
数列求和问题更是数列中的一个重要组成部分，常常在 压轴题中出
现。对于一些既非等差又非等比的特殊数列，学生常感到无从下手
求和。高中数学必 修五（人民教育出版社）对数列的求和只是介绍
了等差数列和等比数列求和公式的推导和应用，而特殊数 列求和所
用的裂项相消法、错位相减法、分组求和法等这些常规的、重要的
方法在课本中都没有 相关的例题介绍，只是在课本第47页第4题
和第61页a组第4题出现了特殊数列求和的题目。由于课 本没有
这些方法的详细介绍，教师在教学过程中往往是直接讲结论后让学
生模仿着去应用，学生 不清楚这个结论逐步形成的过程，就体会不
到蕴涵在其中的思想方法，只懂得机械的模仿，在做题时，如 果题
目稍有变化，他们的思维就转不过弯来，或者时间长了他们就容易
遗忘。因此，笔者认为有 必要根据特殊数列的不同特点和结构对特
殊数列的求和进行分类，并通过一些具体例子归纳出特殊数列求 和

的方法。
一、特殊数列求和的方法
研究数列求和，首先要注意数列的特征，认清是 否是我们熟悉的
等差数列或等比数列。若是等差数列或是等比数列，则用公式法可
直接解决。若 既不是等差数列又不是等比数列的特殊数列，可以考
虑裂项相消法、错位相减法、分组求和法这三种常规 的重要的方法。
在运用公式法求等差、等比数列的和时，要注意认清特征、数清项
数、分清条件 、记清公式，含有参数的求和要注意分类讨论。
方法一：裂项相消法
裂项相消法原理：将数 列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得
正负项能相互抵消，剩下首尾若干项。对于，其中{an}是各 项均不
为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用，其中d=an+1-an。
裂项相消法是 分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项相消
分为逐项相消和隔项相消两种。
裂项相消 法步骤：①先分析数列的项的结构，把通项“裂”成几
项（注意：裂开后的通项当n=k和n=k+d时 能相消情况出现后才行）；
②解题时对裂开后的通项令n取1，2，3……n，然后相加得sn；
③把和式中每一对相消的式子除去，整理剩下的式子即为所求的
和。相消时应该注意消去项的规律，即 清楚消去的项和保留的项。
方法二：错位相减法
错位相减法原理：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个

等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换，然
后将得到的新数列错动一个位 置与原数列的各项相减，即形如
an=bncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；列出sn=a 1+a2+a3+…
+an，再把式子两边同时乘以等比数列cn的公比q，即
qsn=a1q +a2q+a3q+…+anq；然后错开一位，两式相减即可。错位相
减法在等比数列求和公式的推导 中出现过。
错位相减法步骤：①在sn=a1+a2+a3+a4+…+an的两边同时乘以
公比q；②两式相减，左边为（1-q）sn,右边的含有q的同次式相
减；③右边去掉最后一项（有时 还得去掉第一项）剩下的各项成等
比数列，可用公式求和。
错位相减法注意“同、异”。同： 利用公差和公比，化不同为整
齐划一；异：错位求和法异在合并，合并次数相同的项；错位相减
法异在抵消，抵消相同的项。
方法三：分组求和法
分组求和法原理：分组求和是将不能直接 求和的数列适当拆开，
分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。
即若数 列{an}的通项可转化为an=bn+cn的形式，且数列{bn}{cn}
可分别求出前n项和sn ，tn，则用分组求和法。分组求和方法是转
化与划归的数学方法在数列中的具体应用。
特殊 数列的求和除了以上常用的三种方法外，还有倒序相加法、
拆项转化法、构造法、分段求和法等。

二、特殊数列求和出现的问题及采取的对策
1.特殊数列求和出现的问题：①没有认清特殊数 列的特征，不会
转化通项；②未理解每种方法的适用范围，运算时不注意数清项数；
③没有分清 所给的条件，特别是含有参数的求和时不注意分类讨
论，或是分类不全面。④特殊数列求和过程包含比较 繁琐的运算，
有不少学生懂得用什么方法去求和，但由于运算有点繁琐，学生计
算时容易出错， 特别是运用错位相减法解题时往往不能得到正确答
案。
2.采取的对策：①在讲等差数列求和 公式的应用及等比数列求和
公式的推导时引导学生发散思维、采用多种方法，从这些方法中渗
透 错位求和与裂项求和的思想，让学生清楚这些求和方法是怎么形
成的，要在什么情况下使用。②等比数列 求和要落实到位，力保运
算过程不要出错。③增加特殊数列求和题型的练习量。④延长这类
题型 的练习周期。⑤特殊数列求和的基本思路是向等差数列及等比
数列的前n项和转化，归结为学生已经解决 的问题，因此平时要注
重培养学生化归的思想。⑥求特殊数列的和时要注意方法的选取，
要注意 ：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式、计算准确。
参考文献：
[1]王力勇.裂项相消法的几点思考[j].数学教研，2001（8）：37.
[2]张思明.数列求和方法[j].数学通讯，1998（9）：23.等