阻抗公式一类带有组合数的数列的求和--兼谈等差数列的几个性质

一类带有组合数的数列的求和 ——兼谈等差数列的几个性
质
☉陕西省武功县教育局教研室 李 歆

【期刊名称】中学数学

【年(卷),期】2015(000)011

【总页数】2

2007年高考数学陕西卷理科第22题，是一道数列与组合计数相结 合的压轴题，
原题如下：

已知各项全不为零的数列｛ak｝的前k项和为Sk，且Sk=

（Ⅰ）求数列｛ak｝的通项公式；

（Ⅱ）对任意给定的正整数n（n≥2），数列｛bn｝满足求b+b+…+b.12n
该题的答案显示：（Ⅰ）中ak=k，说明数列｛ak｝是等差数列；（Ⅱ）中，说
明数列｛bn｝ 是带有组合数的数列，因此求b1+b2+…+bn则告诉我们，这是
一种带有组合数的数列的求和问题 .这个隐含信息为我们进一步深层次地研究此
类问题搭建了平台.比如，将（Ⅱ）中的“数列｛b｝满足

n（k=1、2、…、n-1），b1=1”改为“数列｛bn｝满足”或“数列｛bn｝满
足”等，这样一变，怎样求解b1+b2+…+bn呢？本文对此作以探究，并从中
揭示出等差 数列的几个有趣性质.

问题1：设数列｛an｝是首项为a1、公差为d的等差数列，若对任 意给定的正
整数n，数列｛bn｝满足…、n+1），求b1+b2+…+bn+1.

分析：根据等差数列的通项公式，易得以下几个恒等式：

根据以上三式的结构，猜想：对任意给定的正整数