数学公式高中(最新)四年级奥数举一反三第八周 巧妙求和(一)

第八周 巧妙求和（一）
专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称
为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个
数称为项数。
从第二项开 始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等
差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数
公式”。
通项公式：
第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：
项数=（末项－首项）÷公差＋1
例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？
分析与解答： 容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是
4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计 算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练 习 一
1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共
有多少项？
2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列
共有多少项？
3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列
共有多少项？
例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100
项是多少？ 分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项 =首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399
练 习 二
1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？
2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数
列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，
99，…，3，2， 1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…
+（99+2）+（100+1）， 其中每个小括号内的两个数的和都是101，
一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的 2倍，再除
以2，就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都
可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练 习 三
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
例4：求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：
项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2，末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650
练 习 四
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
例5：计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
分析与解答：容易发现 ，被减数与减数都是等差数列的和，因
此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ~ 100这100
个数分成了奇数与偶数两 个等差数列，每个数列都有50个项。因
此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到 50
个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练 习 五
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）