建造公式趣味奥数之巧妙求和

趣味奥数之巧妙求和
一、这一个标题
若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个 数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数
称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为
等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项
数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

二、精讲精练
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共
有多少项？
【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项
是4，末项是52.要求项数，可直接带入项 数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有
多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有
多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有
多少项？
【答案】1.（39-1）÷2+1=20项
2.（101-2）÷3+1=34项
3.（1001-11）÷5+1=199项
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列
的第100项是多少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“ 末项=首项+公差×（项数－1）”进
行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【答案】1.末项是21 2.1+（30-1）×3=88 3.2+（100-1）
×4=398
【例题3】有这 样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出
这个数列所有项的和。
【思路导航 】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，
99，…，3.2.1相加，则得到（1 +100）+（2+99）+（3+98）+…
+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的 两个数的和都是
101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的
2倍，再除 以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列
都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【答案】（1）1275（2）2835（3）3280
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项 数是多少：项数=（末项
－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【答案】（1）72（2）4100（3）4185
【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
【思路导航】容易 发现，被减数与减数都是等差数列的和，
因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这
100个数分成了奇数与偶数两 个等差数列，每个数列都有50
个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应
相减 ，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）
（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
【答案】（1）4（2）1000（3）1000
巧妙求和（二）
三、知识要点
某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，
同样要先判断是否求某个等差数列 的和。如果是等差数列求
和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据 题目的具体特点，有时
可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使
问题得以顺利 解决。

四、精讲精练
【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第 二
天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，
正好读完。这本书共有多少页 ？
【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”
可以知道他每天读的页数是按 一定规律排列的数，即30、33、
36、……57、60。要求这本书共多少页也就是求出这列数的< br>和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.
因此可以很快得解：
（30＋60）×11÷2=495（页）
想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？
练习1：
1.刘师傅 做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一
天多做2个，第15天做了48个，正好做完。这批 零件共有
多少个？
2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每
天 读的页数都比前一天多5页。最后一天读了50页恰好读
完，这本书共有多少页？
3.丽丽学 英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一
天多学1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中 学会
了多少个英语单词？
【答案】
1.（20+48）×15÷2=510（个）
2.（20+50）×7÷2=245（页）
3.（6+16）×11÷2=121（个）
【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己
的钥匙，至多要试几次？
【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙
还不行，那所剩的一把就一定能把它打开， 即开第一把锁至
多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三
把锁至多需试27 次……等打开第29把锁，剩下的最后一把
不用试，一定能打开。所以，至多需试29＋28＋27＋… ＋2
＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：
1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，
至多要试多少次？
2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把
锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥 匙搞乱了？
3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒
子中去，使各个 盒子里的羽毛球只数不相等？
【答案】
1.（79+1）×79÷2=3160（次）
2.一共有7把钥匙搞乱了
3.放10只盒子至少需要0+1+2+3+……+9=45（只）44＜45，
所以不能。
【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人
握一次手。那么共握了多少次手？
【思路导航】假设51个同学排成一排，第一个人依次和其
他人握手，一共握了50次，第二个 依次和剩下的人握手，
共握了49次，第三个人握了48次。依次类推，第50个人
和剩下的一 人握了1次手，这样，他们握手的次数和为：
50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.
练习3： < br>1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一
场。如果有21人参加比赛，一共要 进行多少场比赛？
2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位
同学或老师 都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次
手？
3.假期里有一些同学相约每人互通两次 电话，他们一共打了
78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
【答案】
1.一共要进行（20+1）×20÷2=210（场）
2.（46+1）×46÷2=1081（次）
3.有13位同学相约互通电话
【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
【思路导航】首先应该弄 清楚这题是求99个连续自然数的
数字之和，而不是求这99个数之和。为了能方便地解决问
题 ，我们不妨把0算进来（它不影响我们计算数字之和）计
算0～99这100个数的数字之和。这100 个数头尾两配对后
每两个数的数字之和都相等，是9+9=18，一共有100÷2=50
对， 所以，1～99这99个连续自然数的所有数字之和是18
×50=900。
练习4：
1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
3.求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
【答案】
1.（1+9+9）×（200÷2）=1900
2.（9+9+9）×（1000÷2）13500
3.（2+9×3）×（3000÷2）+3=43503
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
【思路导航】不妨先求0～ 199的所有数字之和，再求200～
209的所有数字之和，然后把它们合起来。0～199的所有数
字之和为（1+9×2）×（200÷2）=1900，200～209的所有
数字之和为2× 10+1+2+…+9=65。所以，1～209这209个连
续自然数的全部数字之和为1900+6 5=1965。
练习5：
1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
3.求连续自然数2000～5000的全部数字之和。
【答案】
1.（308+1）×308÷2=47586
2.（2009+1）×2009÷2=2019045
3.10503500