二项公式高考数列方法总结及题型大全

高考 数 列 方法总结及题型大全

方法技巧

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重 要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思
路是，抓通项，找规律，套方法。下面介 绍数列求和的几种常用方法：

一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

4、

例1（07高考山东文18）设是公比大于1的 等比数列，为数列的前项和．已知，且
构成等差数列．

（1）求数列的等差数列．

（2）令求数列的前项和．

解：（1）由已知得解得．

设数列的公比为，由，可得．

又，可知，即，

解得．由题意得．

．故数列的通项为．

（2）由于由（1）得

， 又

是等差数列．

故．

练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.

解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式）

∴ ＝

＝＝

∴ 当 ，即n＝8

二、错位相减法

设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。

例2（07高考天津理21）在数列中，，其中．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅰ）解：由，，

可得，

所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．

（Ⅱ）解：设， ①

②

当时，①式减去②式，

得，

．

这时数列的前项和．

当时，．这时数列的前项和．

例3（07高考全国Ⅱ文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，

（Ⅰ）求，的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和．

解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且

解得，．

所以，

．

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．

三、逆序相加法

把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,
且点P的横坐标为.

（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

（II）若

（III）略

（I）∵,且点P的横坐标为.

∴P是的中点，且

由（I）知，

，（1）+（2）得：

四、裂项求和法

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）分解，然后重 新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）等。

例5 求数列的前n项和.

解：设 （裂项）

则 （裂项求和）

＝

＝

例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为， 数列
的前n项和为，点均在函数的图像上。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,
得

a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故Tn＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅 须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最
小正整数m为10.

评析：一般地，若数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，则求和：首先考
虑则=。下列求和： 也可用裂项求和法。

五、分组求和法

7数列{an}的前n项和，数列{bn}满 .

（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

，

两式相减得：，

同定义知是首项为1，公比为2的等比数列.

（Ⅱ）

等式左、右两边分别相加得：=例8求（）

解：⑴ 当为偶数时，

；

⑵ 当为奇数时，

综上所述，．

点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成若干个可以求和的数列,分别求
和.

六、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进 行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通
项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要 的方法.

例9 求之和.

解：由于 （找通项及特征）

∴

＝ （分组求和）

＝

＝

＝

例10 已知数列{an}：的值.

解