空调计算公式差比型数列的裂项求和法

差比型数列的裂项求和法
差比型数列的求和是数列的重点内容之一，也就是形如B
n
=a
n
b
n
，其中{a
n
}为等差数列 ，{b
n
}为等比数列。现
在已知B
n
=a
n
b< br>n
，求B
n
的前n项和S
n
。
因为a
n
为等差数列，所以可以设a
n
=dn+e，b
n
=b1
p。则B
n
=(dn+e)b
1
p.现在学夫子要告诉你的是 ，
Bn可以配成下面的形式：
nn

一旦能配 成此形,则S
n
=f(1)-f(0)+f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+……+f (n)-f(n-1)=f(n)-f(0),这样
就不必涉及到复杂的运算了，直接到位。那么，问题 就是如何配成裂项的形式了。我们先要注意的是f(n)
的结构与a
n
的结构是一样的 ，都是一次多项式与指数函数的乘积，记住这一点，我们就有了明确的目标。
下一步就是确定里面的两个 参数r和s的值了。
将配成后的B
n
展开，与题目给出的式子对照， 对应系数相等即可求出r和s。这也是我们经常
在配凑法里确定参数的方法。

实际上可以看出来，这个方程组很简单的，第一个就直接求出r，带入第二个就求出s，这 样就
配出了我们的差比型，不过计算后可以发现，要想能够顺利解出r和s，必须要保证p≠1.所以这 是一种特
殊的情况，不过当p=1的时候，也就没那么复杂，直接等差数列求和公式搞定。不过对于平时 的做题，我
们完全可以采用偷懒的方法解出r和s。那就是特殊值法，还是以一道题作为例子吧！
例:已知a
n
=3(2n+1),求a
n
的前n项和S
n
.
设a
n
=f(n)-f(n-1),f(n)=3(rn+s).
a
1
=f(1)-f(0)=3(r+s)-s=2s+3r=9
a
2
=f(2)-f(1)=9(2r+s)-3(r+s)=15r+6s=45
联立方程求得r=3,s=0,所以a
n
=f(n)-f(n-1),f(n)=3(3n)
从而S
n
=f(n)-f(0)=3(3n)
经 检验，此结论和我们用错位相减法得出的结果是一样的，并且不用检验n=1的时候。因为这
是自然成立 的。此解法相对于错位相减法来说，唯一的不足就是一开始有点“霸王硬上弓”的味道，但是
计算过程却 显得简单许多。
n
n
n
n


最后我还想借此谈谈对裂项求和本质的看法。
我们通过裂项求和，就是想把一个a


n
分解成an=f(n)-f(n- k)的形式，然后相加后就消除许多中间项。而在我们的数列中有现成的例子：
a
n
= S
n
-S
n-1
，所以，如果你成功滴将an分解成a
n
= f(n)-f(n-1)的形式，那么S
n
和f(n)之间就只相差一个常
数而已，你 可以设S
n
=f(n)-k，然后取n=1即可求出k。实际上我们知道这个k就是f(0).
对于数列求和问题，建议你看一下下面两篇文章，里面提到了一些常用的方法及需要注意的问
题
最后来几道题大家自己练习一下吧，彻底掌握这种方法：






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