如何显示公式《高斯求和》教案

第2讲 高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算 出答案等于5050。高斯为什么算
得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”
的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一
项 称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，
公差为 2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×（项数÷2）
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1 ，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项 是11，末项是31，共有31-11＋1
＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一 目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、
末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项- 首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。问：（1）
最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等
差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（平方厘米）。
2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三 只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回
盒子里；第二次又从盒子里拿 出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒
子里拿出十只球，将每只球各变成3只球 后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。 第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……
第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋…＋10）
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
练习
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
（2）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；
（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。问：时钟一昼夜
敲打多少次？
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？
第2讲 高斯求和

德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计
算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小 高斯却很快算出答案等于5050。高斯为
什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题
巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差
数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，
最后一项 称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为
公差。例如：
（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项
为99，公差为 2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由
高斯的巧算方法，得到等差数 列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？



例2 11＋12＋13＋…＋31＝？



例3 3＋7＋11＋…＋99＝？



例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。


例5 在下图中，每个最 小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍。问：
（1）最大三角形的面积是多少平方厘 米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？


例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔 术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球
后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只 球各变成3只球后放回盒子里……
第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。 这时盒子里共有
多少只乒乓球？

练习
1.计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；



（2）17＋19＋21＋…＋39；



（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；



（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。



2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。



3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。




4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？




5.求100以内除以3余2的所有数的和。



6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？