舰公式圆柱的体积 (1)

《圆柱的体积》教学案例及反思.
教学内容：义务教育六年制小学教科书数学第12册第2单元“圆柱的体积”。
教材简析：
圆柱是一种含有曲面的几何体，给体积的认识和计算增加了难度。教材将本
课学习安排在圆柱的认识和圆柱的表面积之后。让学生有序地经历了探究物体与
图形的形状、大小、位 置关系的变换过程，掌握圆柱体积的计算方法和公式的推
导过程，建立初步的空间概念，培养形象思维， 还可以为学习圓锥体积打下坚实
的基础，提高学生的知识迁移能力。基于以上认识，我在设计中突出了以 下几点：
1．加强几何的实践操作，尽量让学生自己动手，亲身经历圆柱的体积转化过程，让学生的多种感观参与学习活动。在理解知识的基础上，发展学生思维。
2．加强几何习题 的设计，设计一些实践性、开放性强的习题，引导学生灵
活运用知识，可以根据不同的条件求圆柱的体积 。尽可能地满足不同思维水平学
生的需要，并渗透优化解题策略。
3．加强空间观念的培养， 提高学生形象思维及解决问题的能力。突出知识
间的联系对比，在操作、推导、对比、运用中深化学生的 空间观念。
学情分析：
高年级学生发现问题、解决问题能力逐步增强，这为学生的自主探究 及合作
学习创造了有利条件，他们已经掌握了一些几何知识，了解部分几何图形之间的
转化方法 。但学生的立体空间观念还不是完全成熟，形体之间的转化还有一定的
困难。针对学生的实际，教学中我 主要采用观察、比较、操作等方法。组织学生
探索规律，归纳总结，体验知识的生成和形成。
教学目标：
1．结合实际，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式
解决简单的实际问题。
2．让学生经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生探究推理能力，
体验数学研究的方
3．通过圆柱体积计算公式的推导、运用的过程，体验数学问题的探索性和
挑战性，感受数学思 考过程的条理性和数学结论的确定性，获得成功的喜悦。
教学重点：掌握和运用圆柱体积计算公式。
教学准点：掌握圆柱体积公式的推导过程。
教学设想：
1．教学伊始我创设学具槽放圆柱学具这一情境，让学生感知圆柱体积的概
念.
2. 动手实践是学生体验的主要方式，合作交流是学生体验的有效途径。所以
在教学中我为图形转化、猜想推 理创设有助于学生自主探究的三步曲：第一步：
选择转化的方法。第二步：体验转化的过程、第三步：验 证转化的结果。引导学
生开展观察、操作、猜想、交流、转化的活动，让学生在数学活动中经历数学、< br>体验数学。
3.最后的思维训练是计算正方体中最大圆柱体的体积，给学生以生动、形象、直观的认识，此题算法多样，富于启发地清晰揭示了知识的内在规律，使它和教
学过程有机组合，把 学习延伸到实际，让知识在体验中生成。
4.由于每个学生的知识经验、生活情景、思维方式的不同， 对知识的学习也
有独特的理解和感受。所以我让他们用今天的知识去解决生活中的问题，并写成
数学日记，让他们用自己的方式去体验、探究学习过程。
教学过程：
一、问题导入，质疑问难
师：长方体水槽里放入一个圆柱，仔细观察，你有什么发现?
生：水面上升
生：圆柱占据了水槽内的水的空间。
生：水面上升的体积就是圆柱体的体积。
师：同学们真善于发现!谁能用你的话说说，什么是圆柱的体积吗?
生：圆柱的体积就是圆柱所占空间的大小。
师：想一想，你有办法得到这个圆柱学具的体积吗?(圆柱课件再从槽中跳出。)
生:求出刚才水面上升的体积就是这个圆柱的体积.
生:往圆柱里装满水再倒入长方体或正方 体的容器中,量出长方体或正方体内水的
长、宽、高，求出水的体积就是圆柱的体积。
师：大 家的方法都很好，但是我要求大厅内圆柱的体积，或压路机前轮的体积，
用刚才的方法还合适吗？（生摇 头）
师：看来，我们刚才的方法有一定的局限性，我们要是能像求长方体或正方体那
样，有一 个通用的公式多好啊！
师：下面我们来猜想一下圆柱的体积大小可能与什么有关？
生：圆柱的底面积和高。底面积增大或高增大，圆柱体积都可能增大。
师：大家再来大胆猜测一个，圆柱的体积公式可能是什么？说说你的理由？
生：圆柱的体积等于底面积乘高。（因为圆柱可以看成是由许多圆形纸片叠加而
成的）
生：因为长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也可能是底面积乘高。
二、图形转化，验证猜想：
你想怎样推导圆柱的体积公式呢?结合你们以往学习几何图形的经验，举例
说明。
生 ：大部分图形公式的推导都是把新学的转化为学过的。例如：在求圆的面
积时，把圆还平均分成若干等份 ，剪开，拼成一个近似的长方形。长方形的长就
是圆周长的一半，宽就是半径，长方形的面积是πr×r =πr 2也就是圆的面积。
师：联系旧知识，采用转化法，确实不错。
师：那现在它是一个圆柱，你想怎么办? 生：像刚才一样进行平均分。
师：你能具体说说吗?
生：沿着圆柱的底面直径平均切分成16个小扇形。
生：把圆柱的底面平均分成若干等分，沿高切开，拼成长方体或正方体。
师：都说实践出真知 ，接下来就请同学们拿出学具，动手尝试着进行转化，
并说说转化后的结果。
生：将圆柱沿底面直径平均分成16个小扇形，切分之后，可以拼成一个近
似的长方体。 师：(刚才我们将圆柱沿底面直径平均分成16个小扇形，拼成一个近似的长
方体。)如果想让它更 近似于长方体，你想分成多少份?(32)更近似一点。(64)你
呢?(128)……
师：这是同学们刚才的转化过程。
师：打开书，自由读，用直线标记，找出关键词，依照关键词自由读读转化
的过程。
师：我们已经把圆柱转化成了一个近似的长方体，离找它的体积只有一步之
遥了。下面我们要干什么？（ 课件动画演示推导过程）
生：找二者之间的关系，推导圆柱体的公式
师：现在再请一名同学 到前面来演示转化过程，其他同学注意观察，圆柱转
化为长方体后什么变了，什么没变7(圆柱转化为长 方体时形状变了，但是它们底
面积、高和体积都没变。)
总结文字公式：
圆柱体积＝长方体体积＝长方体底面积×长方体高＝ 圆柱底面积 ×圆柱高
师：用字母表示是？
生：V=Sh
师：仔细观察你还能有什么发现？
生：我发现长方体的长是圆柱体底面周长的一半，宽是底面半径，高不变。
师：你能用这个发现推导出长方体的体积公式吗？V=πr×r×h=πr 2×h=Sh
师：太好了，还有什么发现吗？
生： 我发现原来圆柱的侧面变成了长方体的前后面。
师：现在我把长方体由站立变为睡倒，你还能找出其它的计算圆柱体体积的方法
吗？
生：长方体的体积等于圆柱侧面积的一半×半径。用公式写是（生说师板书）
V=c×12×h×r=πr×h×r=πr 2×h=Sh
师：（太棒了）刚才把长方体睡 倒我们也能求出它的体积公式。现在我把这个长
方体侧面放在桌面上再立起来，你还能求出它的体积吗？
生：现在底面积是r×h，高是πr。所以V=r×h×πr=πr 2×h=Sh（掌声响起）
师：同学们真是太厉害了，通过种种发现我们都有能推导出圆柱的体积公式是
V=Sh。 师：老师这有一些字母：d、s、r、C、h、v、π。它们与圆柱体体积的计算公式
息息相关，请 你们用字母表示出圆柱的体积公式。
生：V=Sh V=πr 2×h V=π(d2)2×h V=(c÷π2)2π×h
师：对比这四个公式你又有什么新发现?(彩色粉笔画线。)
生：相同之处都是底面积乘以高，不同是底面积求法不同。
三、运用公式，解决问题
师：现在我们，快来解决刚才的实际问题吧!
师：我们现在已经知道了圆柱的体积公式，请大家想办法求出这个圆柱的体
积吧！
生：我需要量出这个圆柱的底面周长和高；或者底面直径和高，运用公式就
能求出它的体积。
师：找生量出数据，并写出公式正确计算。
师：看来，灵活运用公式，并选择合理的算法。会使我们的学习更高效。
四、巧用公式，多重探究
师：同学们到现在为止，你都学到了哪些关于圆柱的知识?
生：表面积、体积、容积。
师：老师这里有一组习题。请你们选择合适的问题。
师：读完之后，你认为求什么就可以大声地说出来。
(生：体积、容积、表面积。) 学具厂有一个制作学具的圆柱形铁皮桶。它的底面直径是22厘米，高是25
厘米，_______ __?从里面量底面直径是20厘米，高是25厘米______________
底面积是380平方 厘米。侧面积是1727平方厘米_________________?
师：说说你选择问题的根据是什么?
生：体积是圆柱所占空间的大小。容积是圆柱能容纳物体 的大小，表面积是
圆柱所有面积的总和。
五、开放训练，拓展提升
师：学习很愉快 ，我们来庆祝一下：在一个棱长为a分米正方体盒中，放一
个最大的圆柱体蛋糕，系上b分米长的丝带， (打结部分忽略不计)挖去1根直径
为c厘米，高是d厘米的圆柱蜡烛空隙，这个蛋糕体积到底是多少呢 ?这次我们
男女生比赛，列式不计算，看谁解法多并说明解题思路。
反思：
作为本 次数学活动的策划者、组织者和引导者，巧妙地把纯数学的“体积问
题”与生活实际联系起来，组织学生 进行实践操作、构建数学模型，自主探究圆
柱体积公式并推广应用。这正是我们努力探索的一种新型的数 学教学模型：来源
于生活——提炼为数学——应用于实际。
下面就这方面结合这节课谈谈自己的想法：
(一)教师是创造开发者，为学生创造自主探究的学习环境
在教学中我非常注重学生的数学思 想方法和学习能力，给学生提供较充分的
探索交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证 明等数学活动过
程”，并把培养数学推理能力有机地融合在这样的“过程”之中，改善了学生的学
习方式。本节课，我为学生创设了看一看、想一想、猜一猜、摆一摆等学生熟悉
的、感兴趣的活动情境 。如导入新课时。课件出示一个长方体学具槽，接着演示
把1个圆柱放入学具槽中，然后让学生说一说， 这说明了什么?学生通过观察和
根据已有的生活经验很容易明白：圆柱占据了学具槽的空间。最后，教师 指出：
圆柱所占空间的大小就是圆柱的体积。紧接着让学生试着求出这个圆柱学具所占
空间大小 。学生答案不一，但是要计算大厅内圆柱体积这种方法还行吗？从而激
发了学生思考怎样才能得到一个通 用的圆柱体积公式?引出本课題“圆柱的体
积”。此时已经点燃学生的学习欲望，他们渴望获得正确地结 果，并愿意为此付
出自己的努力。这正是这节课成功的起点，也是教师的高明之处，不仅为学生创
造了一个十分宽松的学习环境，还为学生后面构建数学模型，发现圆柱体积公式
奠定了基础。而一切又 是那么的自然，丝毫不露痕迹，颇有“润物细无声”的味道。
(二)教师是组织引导者，让学生经历自主探究的全过程
小学生学习数学的过程不是被动吸收课本中 现成结论的过程，而是一个亲自参与
的、丰富生动的思維活动，一个实践和创新的过程。在教学中我让学 生经历了5
次自主探究的过程：
1．让学生回顾“圆”形转化成近似的长方形的过程。通过两 次演示操作，使
学生感受到平均分的份数越多转化后的图形更接近长方形。
2．让学生迁移猜想：圆形摞成的圆柱体能转化成什么几何形体，学生动手
演示猜想过程。 < br>3．再次让学生用学具验证圆柱转化成长方体过程，并讨论思考：这个圆柱
体与转化后的长方体相 比什么变了，什么没变?从而得出结论圆柱的体积等于底
面积乘以高。教学到这里时，本来就可以结束本 课的任务，但是我进一步引领学
生思考，你还能发现什么时候？这时学生发现圆柱的侧面变成了现在长方 体的前
后面，从面得到计算圆柱的新算法，用圆柱侧面积的一半乘底面半径就可求出圆
柱的体积 。这时真正展现了学生思维的亮点，激活了课堂，为后面进一步的探究
活动推向深入。
4．教 师出示一些字母，让学生用等式表示它们之间的关系，这进一步延伸
了本课的知识，学生很快得出了已知 底面半径、直径、底面周长、底面积和高求
圆柱体积的计算公式。接着教师有引导学生进行对比、总结发 现其规律，加深学
生的理解。
5．最后，学生动手测量自己求出圆柱学具的体积。我们欣喜的 看到，学生
始终保持着高昂的学习情绪，积极参与了每一个环节并取得了理想的成果。
(三)教师是促进者，帮助学生收获自主探究的 一堂课虽然只有几十分钟，
但孩子们是那么积极主动， 不仅创造性的建立了数学模型而且发现圆柱体的转换
成长方体的规律，还找到了许多计算方法。学生能有 如此的表现和收获，与教师
扮演的角色是密不可分的。首先，课堂教学设计能从学生的实际出发，符合学 生
的认知规律和探究心理，不仅让学生自主探究解决当前问题，而且引发了下一个
活动。其次， 开放性的问题为学生提供了开放性的思维空间。最后，让学生设计
计算蛋糕的体积，再次把学生带到新的 学习环境中，使学习回归到生活。
(四)遗憾之处
1．在学生汇报圆柱转化成近似 的长方体的时候，学生只说把圆柱分成16
份、32份、64份等。没有说“平均分”。当学生语言不够 严密的时候，教师要及
时纠正。教师叙述的时候也没有加以强调，“平均分”在这里显得尤为重要。而这
一部分教学用时过长，教师调控课堂教学能力还有待提高，如果紧凑些，就不会
出现超时现象了 。
2．面向全体，关注大多数学生做得还不够。一些学生课堂上大胆交流的意
识不强，教 师应给与更多的关注，多给他们一些机会，让他们参与进来，与大家
共同体验成功的乐趣。
总之，这是一堂充满快乐的创新性的数学课，教师创造性地开发教学內容，
创造性地开展教学，学生创造 性地构建数学知识，发现数学规律，解决问题。师
生一起分享创造与发现的快乐