刚度公式“用三种方法”推导圆柱体积计算公式论文

“用三种方法”推导圆柱的体积计算公式
【摘要】教学中教师引导学生通过圆柱的底面直径（ 半径）并沿
着高将圆柱体等分为16份（32份）等，把这16等份拼起来后，拼
成了一个近似 的长方体。在转化后虽然形状变了（圆柱体→近似长
方体），但在拼的过程中没有增加一块，也没有减少 一块，所以体
积不变，即近似长方体的体积等于圆柱体的体积，所以想办法求出
近似长方体的体 积就可以求出圆柱体的体积，从而推导出圆柱的体
积计算公式。
【关键词】推导圆柱 体积公式
圆柱的体积是一节非常重要的课，是后面学习复杂形体知识的基
础，其中圆柱体体积 计算公式的推导过程是教学的重点，教学中教
师引导学生通过圆柱的底面直径（半径）并沿着高将圆柱体 等分为
16份（32份）等，把这16等份拼起来后，拼成了一个近似的长方
体。在转化后虽然 形状变了（圆柱体→近似长方体），但在拼的过
程中没有增加一块，也没有减少一块，所以体积不变，即 近似长方
体的体积等于圆柱体的体积，所以想办法求出近似长方体的体积就
可以求出圆柱体的体 积，从而推导出圆柱的体积计算公式。教学中
教师让学生4人小组合作研究，找出近似长方体的体积与原 来圆柱
体的体积的关系，再找出近似长方体的底面积和高相当于原来圆柱
体的哪些部分，便可推 导出圆柱的体积计算公式。因近似长方体的
摆放方式有3种，所以推导圆柱体积计算公式便有3种方法。
第一种方法：学生把等分成的16份拼成近似长方体后（图1），
让学生4人小组合作研究，思 考讨论一下3个问题：
①拼成的近似长方体的体积和圆柱的体积有什么关系？为什
么？
②近似长方体的底面积和原来圆柱的底面积有什么关系？
③近似长方体的高和原来圆柱体的高有什么关系？
学生经过小组讨论后，再填写下面实验报告单：
得出这时近似长方体的底面积等于圆柱的底面 积，近似长方体的
高等于圆柱的高。因此，容易推导出圆柱体的体积公式：
长方体的体积=长方体的底面积×长方体的高
圆柱体的体积=圆柱体的底面积×圆柱的高
v=s×h
=πr2h
其中v表示圆柱的体积，r表示圆柱的底面积半径，h表示圆柱
的高。
第二种方法： 当学生推导出第一种方法后（书上的方法），教师
问：“除了这种推导方法外，你还能不能用其它方法推 出圆柱的体
积计算公式？”这时教师引导学生把拼成的近似长方体“平躺”下
来摆放（图2）， 同样让学生4人小组合作研究，讨论以下问题：
①近似长方体的底面积等于原来圆柱的什么？
②近似长方体的高等于原来圆柱的什么？
学生填写实验报告单（同第一个报告单）后，再让小 组代表汇报
交流：这时近似长方体的底面积等于圆柱侧面积的一半（?s侧），
近似长方体的高 等于圆柱的底面半径（r），而圆柱的侧面积等于底
面周长乘圆柱的高（s侧=ch），教师引导小野生 进行推导如下：
长方体的体积=长方体的底面积×长方体的高
圆柱体的体积=圆柱侧面积的一半×圆柱的底面半径
v=12s侧×r
=12×ch×r
=12πdh×r
=12×2πrh×r
=πrh×r=πr2h
第三种方法：教师引导学生把拼成的近似长方体“竖”起来摆放（图3），同样让学生讨论以下问题：
①这个近似长方体的底面是由圆柱的哪些部分围成的？这个 底
面积怎样计算？（圆柱的高×底面半径）
②这个近似长方体的高等于原来圆柱的什么？ < br>学生填写实验报告单后（同第一个），再请小组代表汇报：这时
近似长方体的底面积是由圆柱的底 面半径（r）和圆柱的高（h）围
成的，其底面积等于圆柱的底面半径（r）乘圆柱的高（h），近似< br>长方体的高等于原来圆柱底面周长的一半（c），引导学生推导如下：
长方体的体积=长方体的底面积×长方体的高
圆柱体的体积=圆柱的高×底面半径×圆柱底面周长的一半
v=h×r×12c
=h×r×12×πd
=h×r×12×2πr
=h×r×πr
=πr2h
这三种推到方法都是抓住了把圆柱体转化为近似长方体后，虽然
形状变了 ，但最终体积没有变化这一本质特征来研究，找出近似长
方体的底面积和高相当于原来圆柱的拿个（些） 部分进行推导。推
导过程种，教师让学生4人小组合作研究。教师掌握好“导”的作
用，把学习 的主动权真正交给学生，让学生自己动手操作，自己去
找出圆柱的体积计算公式。经过学生小组合作探究 、观察、思考，
得到了书本上没有介绍的另外两种推到方法，使学生明白，无论把
拼成的近似长 方体的哪个面作为底面，完全可以推导出圆柱体体积
统一的计算公式：v=πr2h。从而培养了学生的 创新意识，落实了
《课标》中指出的要培养学生解决问题策略的多样化，又培养了学
生的推理能 力。