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含量计算公式圆锥体体积公式的证明

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 08:03
tags:圆柱体积公式

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圆锥体体积公式的证明


证明需要几个步骤来解决:

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。




所以, 只要证明三棱锥的体积,是等底等高的三棱柱的体积的13,即可知题目所求正确。


2)如图,一个三棱柱可以切分成三个三棱锥:






(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的,而“底”是竖着的。 )


现在需要证明,这三个三棱锥,体积都是相等的,也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的13.

证明需要的命题是:底面全等,且高度相等的三棱锥,体积必然相同。

3)如图,底面全等,且高度相等的三棱锥,体积必然相同。这个命题的证明,需要基本的一个原理 :
祖暅原理。
注释:祖暅原理
祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国 南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖
暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平
面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。


在 西方,直到17世纪,才由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1 635年
出版的《连续不可分几何》中,提出了等积原理,所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其
实,他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。
祖暅原理的思想
我们都知道 “点动成线,线动成面,面动成体”这句话,直线由点构成,点的多少表示直线
的长短;面由线构成,也 就是由点构成,点的多少表示面积的大小;几何体由面构成,就是由线
构成,最终也就是由点构成,点的 多少也表示了体积的大小,要想让两个几何体的体积相等,也
就是让构成这两个几何体的点的数量相同, 祖暅原理就运用到了它。
两个几何体夹在两平行平面中间,可以理解为这两个几何体平行面间的 的高度相等。两平行
面之间的距离一定,若视距离为一条线段,那么这个距离上就有无数个点,过一个点 ,可以画出
一个平行于两平行面的截面,若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等, 则
说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面,同一高度每两个几
何体的截面上的点的数量相同,则说明,这两个几何体所拥有的点数量相同,那么也就是说,它
们的体 积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。


这个原理说:如果两个 高度相等的立体,在任何同样高度下的截面面积都相等,那么,这两个立体的
体积就相等。

所以,下图可证明:若两三棱锥的底面(三角形)全等,高度相等,那么它们在任何高度上的截面( 三
角形)也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言:

等底等高的三棱锥,体积都相等:





三棱柱的体积,与立方体的体积一样,是底面积乘以高,(三棱柱可来自于半个立方体):











知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理,就可深入完成题目的证明。




==================== ===============================


下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论:




注意上面这个图,在推算球体的体积的时候,还可以用到。




下面再给几个有趣的推论,直到求出球体的体积和表面积公式:




1) 金字塔锥的体积也是: (13)x底面积x高.


这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:







2)下面的图说明,球体的微分单元是金字塔锥体。

由此可知,球体的体积 = (13)x 球的表面积 x 球半径.










上面的公式说明,球体的体积和表面积, 只要知道其中一个信息,那么就可知道另一个信息。实际上,
根据球体半径推算球体的体积,可以更先一 步。


3)球体的体积。

先看半球的体积:







这还要用到祖暅原理。上图中,左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体,我们前面见过,右边是一个
半球,高度(球半径)与左边的挖空圆柱体高度相同,都是R.

根据图, 在任何一个高度h上的水平截面,左边的被截环(绿色)面积是:
πR
图里,被截的圆(绿色) 面积是:πr
2
= π(R
2
- h
2
).

可见,两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是,根据祖暅原理,上面两形体的体积相同。

左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(23)πR
3.

2
- πh
2
.

而右边的


所以,右边的半球的体积也是=(23)πR
3
.

可知整个球体的体积公式是:

V=(43)πR
3
.


再根据球的体积与表面积的关系公式,可得球体的表面积公式为:

S=4πR
2
.







(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算 法求出球的体积公
式)






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