安庆师范学院龙山校区-方了是什么意思
第二单元
圆柱和圆锥
1、圆柱的特征:
( 1)底面的特征:圆柱的底面是完全相等的两个圆。
( 2)侧面的特征:圆柱的侧面是一个曲面。
( 3)高的特征:圆柱有无数条高。
2、圆柱的高:两个底面之间的距离叫做高。
3、圆柱的侧面展开图:
当沿高展开时展开图是(长方形) ;
这个长方形的长等于( 圆柱的底面周长 ),长方形的宽等于( 圆柱的高 )。
这个长方形的面积等于 (圆柱的侧面积 ),因为长方形面积 =长×宽,所以圆柱的
侧面积 =底面周长×高
当底面周长和高相等 时,沿高展开图是(正方形);
当不沿高 展开时展开图是(平行四边形) 。
4、圆柱的侧面积 :
圆柱的侧面积 =底面的周长×高,
用字母表示为: S 侧=Ch。
h=S 侧÷ C
S 侧=∏dh=2∏rh
C= S
侧÷ h
5、圆柱的表面积 :
圆柱的表面积 =侧面积 +底面积× 2。
即
S表= S侧+ S底×2
=2
=Ch+∏(C÷∏÷ 2) 2 ×2
=∏dh+∏(d ÷2) 2×2
∏rh+ ∏r 2×2
(计算时最好分步使用公式,以免出现计算错误。 )
6、圆柱表面积在实际中的应用
:
无盖水桶的表面积 =侧面积 +
一个
底面积
油桶的表面积 =侧面积 +
两个
底面积
烟囱通风管的表面积 =侧面积
只求侧面积:灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包
装
侧面积 +一个底面积:玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳
池侧面积 +两个底面积:油桶、米桶、罐桶类
7、圆柱的体积:
V=Sh
h=V
÷
S
S=V
÷
h
V= ∏r 2h
(已知
r)
(已知
d)
V= ∏(d
÷2)
2h
V=∏(C÷∏÷ 2) 2
h
(已知
C)
8、
把一个圆柱体切分成若干份拼成一个近似的长方体,在这个过程中,形
状发生了变化,
体积没有发生变化
。
表面积增加了 2rh.
9、圆锥的特征:
( 1)底面的特征:圆锥的底面一个圆。
( 2)侧面的特征:圆锥的侧面是一个曲面。
( 3)高的特征:圆锥有一条高。
10、圆锥的高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
11、圆锥的体积 :圆柱的体积等于和它 等底等高 的圆锥体积的 3 倍,反之圆锥
的体积等于和它 等底等高 的圆柱体积的 三分之一 。
1
1
1
V 锥=
3
V 柱=
3
Sh
V 锥=
3
∏r 2h
1
1
V 锥=
3
∏(d ÷2)2h
V 锥=
3
∏(C÷∏÷ 2) 2h
12、圆柱与圆锥的关系:
( 1)与圆柱等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
( 2)体积和高 相等的圆锥与圆柱(等底等高)之间,圆锥的底面积是圆柱的
三倍。
( 3)体积和底面积 相等的圆锥与圆柱(等低等高)之间,圆锥的高是圆柱的
三倍。
13、生活中的圆锥:沙堆、漏斗、帽子。
典型题:
1、一个圆柱的侧面展开是一个
正方形, 它的高是底面直径的 ∏倍 ,
即
h=C=∏d
,
它的侧面积是
S 侧 =h2
2、
圆柱的底面半径扩大
2 倍,高不变,表面积扩大 2 倍,体积扩大 4 倍。
3、
圆柱的底面半径扩大
2 倍,高也扩大 2 倍,表面积扩大
4 倍,体积扩大
8 倍。
4、
圆柱的底面半径扩大
3 倍,高缩小 3 倍,表面积不变,体积扩大
3 倍。
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是
48 立方厘米,这个圆柱的体积是
( )立方厘米,圆锥的体积是(
1
)立方厘米
列式为: 48÷( 3+1)或 48÷( 1+
3
)
6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是
24 立方分米,这个圆柱的体积是
(
)立方分米,圆锥的体积是(
)立方分米。
1
求圆锥体积列式为: 24÷( 3— 1)或 24÷( 1—
3
)
7、一个圆柱和一个圆锥,体积相等,底面积也相等,圆柱的高是
的高是(
)厘米。
2 厘米,圆锥
V 柱=V 锥
1
Sh=
3
Sh
1
2=
3
h
1
h=2
÷
3
4 平方分米,
h=6
16、一个圆柱和一个圆锥体积相等,高也相等,圆柱的底面积是
圆锥的底面积是(
)平方分米。
1
Sh=
3
Sh
1
4 =
3
S
1
S=4÷
3
S=12
17、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等,
体积的比是 1:6。如果圆锥的高是 3.6
)厘米,如果圆柱的高是 3.6 厘米,圆锥的高是(
厘米,圆柱的高是(
)
厘米。
1
3
Sh
Sh
1
6
1
h =
3
×6×3.6
圆柱的高:
h = 7.2
1
3
Sh
1
Sh
6
1
3
h× 6 = h
2
h = 3.6
圆锥的高:
h = 1.8
18、一个圆柱体,把它的高截短 3 厘米,它的底面积减少
圆柱的体积减少了(
)立方厘米。
94.2 平方厘米,这个
C=S
侧
÷h
=94.2÷3
=31.4(厘米 )
r=C ÷
∏
÷ 2
=31.4÷3.14÷2
=5( 厘米 )
V=
∏r 2h
=3.14
×5×3
=235.5
(立方厘
米)
19、把一个底面半径是 5cm,高是 10cm 的圆柱体切削成若干等份,拼成一个近
似的长方形,在这个切拼过程中,(
)没有发生变化,表面积增加了(
)
平方厘米。
20、一个圆锥的体积是 12 立方米,底面积是
9 平方米,高是几米?
1
列式为:
3
×9×h=12
21、思考题:一个圆柱体和一个圆锥体积相等,底面半径的比是
圆柱高的比是(
)
一、填空
3: 2,圆锥与
1.一个圆柱和一个圆锥的底面积和高分别相等,圆锥的体积是圆柱体积的(
的体积是圆锥体积的(
)。
),圆柱
2.
一个圆柱的体积是
15 立方厘米,与它等底等高的圆锥的体积是(
)立方厘米。
3.
一个圆锥的体积是
7.2 立方米,与它等底等高的圆柱的体积是(
)立方米。
4.
圆锥的底面半径是
6 厘米,高是
20 厘米,它的体积是(
)立方米。
5.
等底等高的圆柱和圆锥的体积相差
的体积是( )立方米。
16 立方米,这个圆柱的体积是(
)立方米,圆锥
6.等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积和是
米,圆锥的体积是(
)立方分米。
96 立方分米, 圆柱的体积是 ( )立方分
二、判断
1.圆锥的体积是等于圆柱体积的
。 ( )
2.圆锥的体积比与它等底等高的圆柱体积小
。( )
3.一个圆锥的底面半径扩大
3 倍,它的体积也扩大 3 倍。(
)
4.一个正方体和一个圆锥体的底面积和高都相等,这个正方体体积是圆锥体积的
( )
3 倍。
三、选择
1.一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等,圆锥的高是圆柱的
方分米,圆柱的体积是(
3 倍,圆锥的体积是
12 立
)立方分米。
① 12 ②36 ③4 ④8
2.一个圆锥的体积是 12 立方厘米,底面积是 4 平方厘米,高是(
)厘米。
① 3 ②6 ③9 ④12
3.一个圆锥的体积是 n 立方厘米,和它等底等高的圆柱体的体积是(
)立方厘米。
① n ② 2n ③ 3n ④
四、应用题
1.一堆圆锥形黄沙, 底面周长是 25.12 米,高 1.5 米,每立方米的
黄沙重 1.5 吨,这堆沙重多少吨?
2. 把一个横截面为正方形的长方体,削成一个最大的圆锥体,已
知圆锥体的底面周长 6.28 厘米,高 5 厘米,长方体的体积是多少?
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