成功公式圆锥体积公式

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篇一：圆锥体体积公式的证明
圆锥体体积公式的证明
证明需要几个步骤来解决：
1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。
所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的13，即可知题目所求正确。
2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：
(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。 )
现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体
积的13.
证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。
3）如图，底面 全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本
的一个原理：祖暅原理。
注释：祖暅原理
祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之 (429-500)的儿子祖
暅(gèng)首先提出来的。
祖暅原理的内容是：夹在两 个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何
平面所截，如果截得两个截面的面积总相等 ，那么这两个几何体的体积相等。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cava lieri.B,1589-1647)发现。于1635
年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积 原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。
其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。
祖暅原理的思想
我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成， 点的多少表示直
线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成， 就
是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体
积 相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。
两个几何体夹在两平行 平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平
行面之间的距离一定，若视距离为一条 线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可
以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被 过每一点的平行截面截出的截面面积两
两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量 相同。有无数个截面，同
一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的 点数量相同，
那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。
这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这
两个立体的体积 就相等。
所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度
上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：
等底等高的三棱锥，体积都相等：
三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：
知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。
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下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：
注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。
下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:
篇二：圆台体积计算公式
圆台体积计算公式：
1、V=∏×h× (R2﹢R×r﹢r2)3
V:体积 ∏：3.14 h：圆台高度 R：圆台大面半径 R：圆台小面半径
2、V=∏×h× (D2﹢d2﹢D×d)12
V:体积 ∏：3.14 h：圆台高度D：圆台大面直径 D：圆台小面直径
圆柱体积计算公式：
1、V=∏×D2×h4 D：圆台直径 h：圆台高度 ∏：3.14
2、V=∏×R2×h R：圆台半径 h：圆台高度∏：3.14
篇三：圆柱、圆锥常用的表面积、体积公式
圆柱与圆锥
例题精讲
板块一 圆柱与圆锥
【例 1】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0. 5米的3个圆柱组成一
个物体．问这个物体的
表面积是多少平方米？(π取3.14
)
0.51
1111.5
【例 2】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱
形的圆孔，圆孔的直
径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一
共 要涂多少平方厘米？
【例 3】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12
厘米的长方形，那
么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)
【例 4】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头
处忽略不计)，求这
个油桶的容积．(π?
3.14)
【巩固】如图，有一张长方形铁皮，剪下 图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆
柱体，这个圆柱体
的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π?3.14)
【例 5】 把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积
比原来的圆柱体表
面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？
【巩固】一个圆 柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘
米．求这个圆柱体的
表面积是多少？
【例 6】 (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的
木棒，沿着底面直
径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2008cm2，则这个圆
柱体木棒的侧面积是________cm2．(π取3.14)
第2题
【巩固】 已知圆柱体的高是10厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面
积增加了40平方厘
米，求圆柱体的体积．(π?3)
【例 7】 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分
成若干个扇形后，再
截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π?3.14)
【例 8】 右图是一个零件的直观图．下部是一个棱长为40cm的正方体，上部是圆柱体的
一半．求这个零件
的表面积和体积．
【例 9】 输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，
问：整个吊瓶的容积
是多少毫升？
【例 10】 (2008年”希望杯”五年级第2试)一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，
由图中的数据
可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14
)
【巩固】 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立
方厘米．当瓶子正
放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒
精的 体积是多少立方厘米？合多少升？
(单位：厘米)
【巩固】一个酒瓶里面深30cm， 底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm．把酒瓶塞紧后使
其瓶口向下倒立这时
酒深25cm．酒瓶的容积是多少？(π取3)
30
15
25
【巩固】一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，
请你根据图 中标明
的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．
【巩固】一个透明的封闭盛水容器，由 一个圆柱体和一个圆锥体组成，圆柱体的底面直径和
高都是12厘米．其
内有一些水，正放 时水面离容器顶11厘米，倒放时水面离顶部5厘米，那么这个容器的容
积是多少立方厘米？(π?
3)
5cm
【例 11】 (第四届希望杯2试试题)如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，
水面上漂浮着一
块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，
水面 将下降________厘米．
【例 12】 有两个棱长为8厘米的正方体盒子，A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的
圆柱体铁块一个，
高为8厘米的圆柱体铁块4个，现在A盒注满水，把A盒的水倒入B盒，B盒中放入直径
为4厘米、
使B盒也注满水，问A盒余下的水是多少立方厘米？
【例 13】 兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这
样的：将一个面
团先搓成圆柱形面棍，长1.6米．然后对折，拉长到1.6米；再对折，拉长到1.6米……照
此继续 进
1
行下去，最后拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的．问：最后马师傅拉出的这些细面条
的总长
64
有多少米？(假设马师傅拉面的过程中．面条始终保持为粗细均匀的圆柱形，而且没有任何
浪费)
【例 14】
一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块．现打开水龙头往容器中灌水．3 分钟时水面恰好
没过长方体的顶面．再过18分钟水灌满容器．已知容器的高为50厘米，长方体的高为 20
厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比．
【例 15】 一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8
厘米．现将一个底
面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？
【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘
米．现将一个 底面积
是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米？