和立方公式弧长的公式、扇形面积公式、圆锥、圆柱、弓形面公式及其应用、四棱台体积公式资料

【本讲教育信息】

一. 教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积

二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

三. 重点及难点
重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算 公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，< br>例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成
（2）在弧长公式中 ，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
。

知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积， 显然扇形的面积
是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积
为1 °的扇形面积是
又因为扇形的弧长
的另一个计算公式：
，由此得圆心角为n°的扇形面 积的计算公式是
，扇形面积
。
，所以圆心角
。
，所以又得到扇形面积


知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分 的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把
扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来， 就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，



当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （ ）
（结果用表示）

分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝
∠AOC ＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
，
所以
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

公
式
圆周长



弧长 圆面积 扇形面积
∠AOC，所以


（2）扇形与弓形的联系与区别
（2）扇形与弓形的联系与区别
图
示

面
积






知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，
那么这个扇形的 半径为l，扇形的弧长为2
面积
，圆锥的侧面积，圆锥的全

说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和 全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并
明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

或知识点4、

如果用r来表示底面半径，l表示圆锥的母线，n°表示圆锥侧面扇 形的圆心角
的度数，则底面周长为2πr,所以扇形的弧线长度也为2πr，而弧线长度（扇形
所占圆周长）就等于n°／360°.扇形所占圆是以以母线l为半径的，所以它的
周长为2πr，得出

n／360 = 2πr／2πl = r／l

r／ l就是弧线长度 与扇形所占圆周长之比，也就是扇形与扇形所占圆的面积之
比。所以，只需求出扇形所占圆的面积再乘以 r／l便可以得出扇形的面积。而
扇形所占圆的面积为πl2，即可得出：


S侧 = πl2×r／l

= πrl

向前再推一步，又得出扇形面积的计算公式：

S侧 =πrl

=12×2πr×l

= 12×底面弧线长× 母线长

由此推导出圆锥侧面扇形面积等于πrl ，等于3．14乘以底面半径再乘以母
线即可。圆锥的表面积为侧面积加底面积，又为：

S表 = S侧＋S底

=πrl＋πr2

=πrl＋πr×r

=πr(l＋r)





知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两 邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，
若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积

，圆柱的全面积
知识小结：
圆锥与圆柱的比较
名称 圆锥

圆柱
图形

图形的形成过程

图形的组成
侧面展开图的特征
面积计算方法


由一个直角三角形旋转得到
的，如Rt△SOA绕直线SO
旋转一周。
一个底面和一个侧面
扇形

由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转一周。
两个底面和一个侧面
矩形

【典型例题】

例1. （2003.辽宁）如图所示，在 同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，
则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为
所以
故答案为：B.

，


例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半 圆上，连接AC，BC，AB＝10
厘米，tan∠BAC＝，求阴影部分的面积。

分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知
识（3）组合 图形面积的计算。
解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝
设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）
由勾股定理得
所以BC＝6，AC＝8，
所以

例3. （200 3.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇
形AOB，点C，E， D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，
垂足为F，如果正方形的边 长为1，那么阴影部分的面积为（ ）


，而

分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝
，
因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两部分阴影的面积中的
一部分为M，另 一部分为N，则，阴影部分面
积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积 为P，
因为∠BOD＝∠DOC，所以

所以M＝P，所以

答案：

例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，A B＝2，BC＝7，AD＝3，
以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。
。

分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和 圆锥组
成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2
CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4
在△CDH中，

所以

例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米
（1）求扇形的弧长。
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？


分 析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长
公式求得。（2）由此扇形卷成的圆 锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形
ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长， 而圆周长公式为C＝2r，底面圆
半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以
解：（1）设扇形的半径为R，
由，得，解得R＝30.
可求。
所以扇形的弧长（厘米）。
（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30 ，BC＝2r，底面圆周长C＝
2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以
在Rt△ADC中 ，高AD＝
所以轴截面面积


（平方厘米）。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（ ）
A. 4 B. 2 C. 47л D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（ ）
A. B. C. D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（ ）
A. 90° B. C. D.180°
4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M， N．已知大圆半
径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（ ）
A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍
5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（ ）
A.
C.
B.
D.



6 用一个半径长为 6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（ ）
A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 90° D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比 为1∶
2，则它们的高之比为（ ）
A. 2：1 B. 3：2 C. 2： D. 5：
9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥
的侧面积为S
1
，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S
2
，则（ ）
A. S
1
＝S
2
B. S
1
> S
2
C. S
1
< S
2
D. S
1
、S
2
的大小关系不确定


二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积
是 cm
2
.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是 .
3. 已知扇形面积是12cm
2
，半径为8cm，则扇形周长为 .
4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一
个圆锥 ，其全面积为S
1
；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S
2
，则
S
1
： S
2
＝ 。
5. 一个 圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形
的盖子，做成的盖 子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有 cm。
6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是
影部分的面积是 。
的三等分点，则阴

7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴
影部分面积为 。


三、计算题
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长
线于点F，交B C于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л
取3）。

2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S
1
，另一个圆锥的侧面积 是S
2
，
如果圆锥和圆柱等底等高，求．
3. 圆锥的底面半径是R，母线 长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆
锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．
【试题答案】

一、选择题
1. A
2. B
3. C
4. D
5. B
6. B
7. B

二、填空题
1、24 144
2、40°
3、19cm
4、3：4
5、3
6、2
7、2－4

三、计算题
1、连接AE，则
8. C
9. B

，所以
2、
3、连接展开图的两个端点MM'，即是最短长度。
利用等量关系得出∠MAM′＝120°，∠AMD＝30°，AD＝，




四棱台体积计算公式 v=h*(a*b+(a+a1)*(b+b1)+a1*b1)6= h3(S上底面积+S下底面积+
开根号√S上底面积×S下底面积)
体积公式编辑
正四棱台
V=H3[S
1
+S
2
+√(S
1S
2
)]
注：非通用公式,（s
1
是上底的面积 ，s
2
是下底的面积 ）
通用公式
V=[S
1
+ 4S
0
+ S
2
] * H 6
=h6×[a
1×b
1
+a
2
×b
2
+(a
1
+a< br>2
)×(b
1
+b
2
)]
注：上底面积S
1
，下底面积S
2
，中截面面积S
0
，高H， 此体积公式多一个
参量S
0
——中截面积,它有“万能公式”的美誉。
2
体积公式推导编辑
由相似三角形可得bh1=a(h1+h2)，所以h1=bh2(a-b).

V台 = a^2(h1+h2)3 - b^2*h13
=h1(a^2-b^2)3+h2*a^23
=(a+b)*b*h3+a^2*h3
=（a^2+b^2+ab）*h3




棱台计算公式
四棱台的公式是：V=（13）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）
当是正四棱台时带入上述公式，简化后就是：V=(h3)(a2+ab+b2)﹝其中a，b，h分別为正< br>四棱台的上、下底边及高的大小）

挖土方需放坡计算公式现在接触已经有三个了
1、（A+2C+KH）（B+2C+KH）*H+13 K2 H3
（K2：放坡系数的平方；H3：高度三次方）
2、H3(F1+F2+ㄏF1*F2）
（F1：上底面积；F2：下底面积；ㄏF1*F2：上底面积乘以下底面积开根）
3、H6 [ A1*B1+A*B+（A1+A）（B1+B）]
（A1：上底面积一个边长；B1：上底面积另一个边长）
（A：下底面积一个边长；B：下底面积另一个边长）

1公式：是建筑预算员常用的基坑土方计算公式，直接套用放坡系数；
2公式：是中学生计算 棱台的体积公式；用于土方计算时需先计算边长，再计算面积，再计
算体积；
3公式：是棱台 体积公式的延伸，当A1A=B1B时成立。也不够方便，可用于现场测量结
果的计算（施工计算），土 方工程量近似计算。