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直线方程公式等比数列的前N项和公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-09 09:46
tags:等比数列前n项和公式

物流工程专业-甘肃陇东学院


等比数列的前n项和公式》说课稿
今天我将要为大家讲的课题是等比数列前n项和。对于这个课题,我主要从
下面六个方面来进行讲解。

一、教材结构与内容分析:

《等比数列前n项和公式》是高中数学 二年级第二学期第十三章第五节内容。
教学对象为高二学生,教学课时为2课时。本节课为第一课时。在 此之前,学生
已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到
本 节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基
础。本节课既是本章的重点 ,同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看,《数列与数学归纳法》这一 章是高中数学的重
要内容之一,在整个高中数学领域里占据着重要地位,也起着作用性的作用。首
先:数列有着广泛的实际应用。例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计
算等。其次:数列有着 承前启后的作用。数列是函数的延续,它实质上是一种特
殊的函数;学习数列又为进一步学习数列的极限 等内容打下基础。再次:数列也
是培养提高学生思维能力的好题材。学习数列要经常观察、分析、猜想, 还要综
合运用前面的知识解决数列中的一些问题,这些都有利于学生数学能力的提高。
本节的教学重点是等比数列前n项和公式及应用。

教学难点是等比数列前n项和公式的推导。


二、教学目标分析:

作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学
思想、数 学意识。根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心
理特征,我制定了如下的教学目标 :

1、知识目标:理解等比数列前n项和公式的推导方法,掌握等比数列前n
项和公式及应用。

2、能力目标:培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活运用基本概
念分析问题 解决问题的能力,锻炼数学思维能力。

3、情感目标:培养学生学习数学的积极性,锻炼学生遇到困难不气馁的坚
强意志和勇于创新的精神。


三、学生情况分析:

学生在学习本节内容之前已经学 习等差、等比数列的概念和通项公式,等差数
列的前N项和的公式,具备一定的数学思想方法,能够就接 下来的内容展开思
考,而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

四、教学方法分析:

教法:数学是一门培养和发展人的思维的重要学科, 因此在教学中不仅要让
学生“知其然”,还要“知其所以然”,为了体现以学生发展为本,遵循学生的认 知
规律,体现循序渐进和启发式教学原则,我进行这样的教学设计:在教师的引导
下,创设情景 ,通过开放式问题的设置来启发学生进行思考,在思考中体会数学
概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想 ,使之获得内心感受。

本节课将采用“多媒体优化组合—激励—发现”式教学模式 进行教学。该模式
能够将教学过程中的各要素,如教师、学生、教材、教法等进行积极的整合,使
其融为一体,创造最佳的教学氛围。主要包括启发式讲解、互动式讨论、研究式
探索、反馈式评价。

学法:根据二期课改的精神,转变学生的学习方式也是本次课改的重要内容,数
学作 为基础教育的核心学科之一,转变学生的数学学习方式,变学生被动接受式
学习为主动参与式学习,不仅 有利于提高学生的整体数学素养,也有利于促进学
生整体学习方式的转变。在课堂结构上我根据学生的认 知层次,设计了(1)创
设情景(2)观察归纳(3)讨论研究(4)即时训练(5)总结反思(6)任 务延
续,六个层次的学法,他们环环相扣,层层深入,从而顺利完成教学目的。自主
探索、观察 发现、类比猜想、合作交流。

教学手段,利用多媒体和POWERPOINT软件进行辅助教学。

五、教学程序设计:

1、创设情景:

引例:某公司,由于资金短缺,决 定向银行进行贷款,双方约定,在3年
内,公司每月向银行借款10万元,为了还本付息,公司第一个月 要向银行还款
10元,第二个月还款20元,第三个月还款40元,……。即每月还款的数量是
前一个月的2倍,请问,假如你是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字
吗?

这是一个悬念式的实例,后面的“假如”又把学生带入了实例创设的情境,让
学生直接 参与了“市场经济”。根据心理学,情境具有暗示作用,在暗示作用下,
学生自觉不自觉地参与了情境中 的角色,这样他们的学习积极性和思维活动就会
极大的调动起来。

这样引入课题有以下几个好处:

(1) 利用学生求知好奇心理,以一个实际问题为切入点,便于调动学生学习
本节课的趣味性和积极性。

(2) 在实际情况下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验,同化和索引
出当前学习的新知识,这样获取的知识,不但易于保持,而且易于迁移到陌生的
问题情境中。

(3) 问题内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。

(4) 有利于知识的迁移,使学生明确知识的现实应用性。

在教师的诱导下,学生 根据自己掌握的知识和经验,很快建立起两个等比数
列的数学模型。数列{an}是以为首项,1为公比 的等比数列,即常数列。数列{bn}
是以10为首项,2为公比的等比数列。

当学生跃跃欲试要求这两个数列的和的时候,课题的引入已经水到渠成。教
师再由特殊到一般、具体到抽 象的启示,正式引入课题。

2、讲授新课:

本节课有两项主 要内容,等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n
项和公式及应用。等比数列的前n项和公式的 推导是本节课的难点。依据如下:

(1) 从认知领域上讲,它在陈述性知识、程序性知识 与策略性知识的分类中,属于
学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识。

(2) 从学科知识上讲,推导属于学科逻辑中的“瓶颈”,突破这一“瓶颈”则后面的问
题迎刃而解。

(3) 从心理学上讲,学生对这项学习内容的“熟悉度”不高,原有知识薄弱,不易理
解。

这里我讲述的主要是怎样利用多媒体激励、启发学生思维,突破教材难点。

等比数列有两大类:公比q=1和q 1两种情形

当q=1时,Sn=na1

当q 1时,Sn=a1+a1q+……+a1qn-1=

q 1时,Sn的结果是怎么推导出来的呢?本节课的难点就在于此。

预习过课本的学生会 知道这个结果以及推导过程,但是他们知其然而不知其所以
然,可以说大部分学生根据他们掌握的知识和 经验是难以推出这个公式的。

这时候我们可以首先让学生们进行思考,如果运用数 学中“从特殊到一般”的
数学思想方法,能不能向这个结果靠拢呢?

我们不难得到下述结论:

S1=a1,

S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)

S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)

……

Sn=a1+a2+……+an=a1(1+q+q2+……+qn-1)

不少同学根据这个式子可能会想到

a1(1+q+q2+……+qn-1)= a1(1+q+q2+……+qn-1)(1-q)(1-q)=

这时我要向学生说明,这种从特殊到一般,逐步归纳的思想方法很好,是我
们 解决数学问题中经常会运用到的方法。然后又要指出在现阶段,我们还无法对
这个过程进行证明,因此它 的给出是不严密的。这样不仅让学生再一次体会到数
学的最基本特点,严密的逻辑性。也为将来学习二项 式展开的内容打下了伏笔。

此时,仅仅从形式上进行的归纳在现阶段是无法进行系统而严谨 的证明的,那我
们只能在思想的过程中另辟蹊径,因此,要通过复习等差数列的求和公式,借助
推导等差数列求和公式的思想方法,来找到推导等比数列的前n项和公式的方
法!

让学生们一起回忆一下等差数列的前n项和公式的推导过程。

可以发现当时我们是将a1与an, a2与an-1,所有与首末等距两项交换位置,
得到S n的倒序和的形式。然后两式相加。这样2Sn就是一个有n 项的每一项
都是a1+an的常数列。从而导出了Sn的公式。

等差数列的求和方 法是根据等差数列的特点和根据学生的知识结构和认知水平
产生的,形式上是倒序相加,本质上就是消去 数列中项与项之间的差异,构造一
个新的各项相同的常数列,然后根据常数列的和导出 Sn的公式来,其本质特征
是等差数列从第二项起,每一项都比前一项多了一个d。

那么等比数列是不是也可以用类似的方法,构造出一个常数列或者部分常数
列呢?让学 生亲自去试一试,结果呢?

这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考。结果显然是行不通的。

此时教师的主要任务是要让学生的思维迅速发散——从倒序相加的定势中
解脱出来。抓住学生迫切想解决 这个问题的心态,及时地通过媒体进行启发。老
师要告诉学生,构造常数列或者部分常数列的思路是正确 的。既然倒序行不通,
那么还有没有其它的方式构造常数列呢?

接着要引导 学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,
每一项都是前一项的q倍,也就是说将每 一项乘以q以后就变成了它的后一项,
那么将Sn这个和式的两边同时乘以q,在q Sn这个和式中的第一项就是Sn的
第二项,也就是Sn和q Sn之间产生了一个错位。由两个和式能 否构造常数列
或者部分常数列的和式呢?相加行不行?显然不行!相减行不行?显然行。

将Sn和 q Sn相减后,中间就得到了n-1项各项都是0的常数列, 找到了
这个常数列,难点就突破了, Sn的导出就容易了,导出了Sn就基本上达到了
本节课的认知目标。

为了加深理解,这时还应该对等差、等比两种数列的求和公式的推导过程进
行类比和分析:

两种数列求和的基本思路都是构造常数列,构造常数列的思想也是其他一些
数列求和的 基本思想。等比数列在构造常数列的过程中,采用“错位相减”,等差
数列采用的是“倒序相加”,倒序 相加本质上也是“错位相加”,是一种大幅度的“错
位相加”,等比数列只不过是步幅为1的小幅度的“ 错位相加”。说明一下,在Sn
的和式中,两边同时乘以q是解决问题——构造常数列的关键所在,是推 导等比
数列求和公式的一把钥匙。

所以,这两种数列的求和公式的推导方 法,从数学思想和数学方法上来讲是
一致的,但是它们也有差异,即错位的方法不同。正是由于这种差异 ,教师才有
了更大的教学空间。当教师把学生从“倒序相加”的思维定式中引导出来的时候,
学 生的数学思维的深刻性、广阔性等思维品质就得到了提高,思维品质提高了,
思维能力也就提高了。这样 ,这节课的认知目标和素质目标就基本上都达到了。

推导出公式之后,对公式的特 征要加以说明,以便学生记忆。同时还要对公
式的另一种表示形式和应用中的注意事项加以说明。帮助学 生弄清其形式和本
质,明确其内涵和外延,为灵活运用公式打下基础。

有 了求和公式后,回头让学生亲自计算一下引例中的钱款数量,从计算结果
中让学生明确实际问题的解决离 不开数学,在市场经济中必须有敏锐的数学头脑
才行。

3.例题讲解。

我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解,而及时对解题
方法和规律 进行概括,有利于发展学生的思维能力。本节课设置如下两种类型的
例题:

1) 等比数列中知三求二的解答题

例:求首项为2,公比为2的等比数列的前8项和以及第5项的值。

以及书上的例4

2) 实际应用题。

例:某制糖厂 第1年制糖5万吨,如果平均每年的产量比上一年增加10%,那
么从第1年起,约几年内可使总产量达 到30万吨(保留到个位)?

这样设置主要依据:

(1)例题与大纲中规定的教学目标与任务及本节课的重点、难点有相对应的匹
配关系。

(2)遵循巩固性原则和传授——反馈——再传授的教学系统的思想确立这样
的例题。

(3)应用题比较切合对智力技能进行检测,有利于数学能力的提高。同时,它
可以使学生在后半程学习中保持兴趣的持续性和学习的主动性。

4.形成性练习:

例题处理后,设置一组形成性练习,作为对本节课的实时检测。练习基本上
是 直接运用公式求和,三个练习是按由易到难、由简单到复杂的认识规律和心理
特征设计的,有利于提高学 生的积极性。学生练习时,教师巡查,观察学情,及
时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法 提出表扬和鼓励,对其中偶
发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习,培养学生的应变和举一反三的能 力,
逐步形成技能。

5.课堂小结

本节课的小结从以下几个方面进行:

(1) 等比数列的前n项和公式

(2) 公式的推导方法——错位相减法

(3) 求和思路——构造常数列或部分常数列。

通过师生的共同小结,发挥学生的主体作用,有利 于学生巩固所学知识,也能培
养学生的归纳和概括能力。进一步完成认知目标和素质目标。

最后用古印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事做为结尾,发明者要国王在他
的棋盘上的64 格中的第 1格放入1粒麦粒,第2格放入2粒麦粒,第3格放
入4粒麦粒,第4格放入8粒麦粒……问 应给发明家多少粒麦粒?再让学生感
受一下数学的奇妙,激发他们学习数学的热情。

6.布置作业

针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学 有余力的学
生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的。

并可布置相应的研究作 业,思考如何用其他方法来推导等比数列的前N项和公
式,来加深学生对这一知识点的理解程度。

六、教学评价与反馈:

根据高二学生心理特点、教材内容、遵循因材施 教原则和启发性教学思想,本节
课的教学策略与方法我采用规则学习和问题解决策略,即“案例—公式— 应用”,
案例为浅层次要求,使学生有概括印象。公式为中层次要求,由浅入深,重难点
集中推 导讲解,便于突破。应用为综合要求,多角度、多情境中消化巩固所学,
反馈验证本节教学目标的落实。

其中,案例是基础,使学生感知教材;公式为关键,使学生理解教材;练习为应
用, 使学生巩固知识,举一反三。

在这三步教学中,以启发性强的小设问层层推导,辅之以学生 的分组小讨论并充
分运用直观完整的板书和计算机课件等教辅用具、手段,改变教师讲、学生听的
填鸭式教学模式,充分体现学生是主体,教师教学服务于学生的思路,而且学生
通过“案例—公式—应 用”,由浅入深,由感性到理性,由直观到抽象,不仅加
深了学生理解巩固与应用,也培养了学生的思维 能力。

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