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速度时间公式等比数列的前n项和例题解析

作者:高考题库网
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2020-09-09 10:02
tags:等比数列前n项和公式

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等比数列的前n项和·例题解析

【例1】 设等比数列的首项为a(a>0),公 比为q(q>0),前n项和为80,
其中最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q .
解 由S
n
=80,S
2n
=6560,故q≠1
∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为a
n

∴a
n
=aq
n-1
=54

将③代入①化简得a=q-1

由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3
证 ∵S
n
=a
1
+a
1
q+a
1q
2
+…+a
1
q
n-1

S
2n< br>=S
n
+(a
1
q
n
+a
1
qn+1
+…+a
1
q
2n-1
)
=S
n+q
n
(a
1
+a
1
q+…+a
1
q
n-1
)
=S
n
+q
n
S
n

=S
n
(1+q
n
)
类似地,可得S
3n
=S
n
(1+q
n
+q
2n
)
说明 本题直 接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地
处理了S
2n
、S
3n
与S
n
的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提
取公因式等 方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,
则解法巧.
【例3】 一 个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和
为85,偶数项的和为170,求这个数列的 公比和项数.
分析 设等比数列为{a
n
},公比为q,取其奇数项或偶数项所成 的数列仍
然是等比数列,公比为q
2
,首项分别为a
1
,a
1
q.
解 设项数为2n(n∈N*),因为a
1
=1,由已知可得q≠1.
即公比为2,项数为8.
说明 运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要 分情况
讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用
两式相除 的方法达到降次的目的.
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【例4】 选择题: 在等比数列{a
n
}中,已知对任意正整数n,有S
n
=2
n
[ ]
解 D.
∵a
1
=S
1
=1,a< br>n
=S
n
-S
n-1
=2
n-1

∴a
n
=2
n-1

∴b
n
=(a
n
)
2
=(2
n-1
)
2
=2
2n-2
=4
n-1

【例5】 设0<V<1,m为正整数,求证:
(2m+1)V
m
(1-V)<1-V
2m+1

分析 直接作,不好下手.变形:
右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有:
(2m+1)V
m
<1+V+V
2
+…+V
2m

发现左边有(2m+1)个V
m
,右边有(2m+1)项,变形:V
m
+V
m
+…+V
m
<1+V+V
2
+…+V
2m

显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与
右边的两 项相比较.鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和
均相等”的特点,想到以如下方式比 较:
V
m
+V
m
<1+V
2m
,V
m< br>+V
m
<V+V
2m-1
,…,V
m
+V
m
<V
m-1

V
m+1
,V
m
=V
m

即2V
m
<1+V
2m
,2V
m
<V+V
2m-1
,….
根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值”,这些式子显然成
立.
(具体证法从略).
说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考”: < br>C,B<D,等等.善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同
时也是一种重要的思维 能力,平时应注意训练.
【例6】 数列{a
n
}是等比数列,其中S
n
=48,S
2n
=60,求S
3n

解法一 利用等比数列的前n项和公式
若q=1,则S
n
=na
1
,即na
1
=48,2na
1
=96≠60,所以q≠1
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=S
n
(1+q
n
+q
2n
)
解法二 利用等比数列的性质:S
n
,S
2n
-S
n
,S
3 n
-S
2n
仍成等比数列
∴ (60-48)
2
=48·(S
3n
-60)
∴ S
3n
=63.
解法三 取特殊值法
取n=1,则S
1
=a
1
=48,S
2n
=S
2
=a
1
+ a
2
=60
∴ a
2
=12
∵ {a
n
}为等比数列
S
3n
=S
3
=a
1
+a
2
+a
3
=63
【例7】 已知数列{a
n
}中,S
n
是它的前n项和,并且S
n+1
=4a
n< br>+2(n∈
N*),a
1
=1
(1)设b
n
=a< br>n+1
-2a
n
(n∈N*),求证:数列{b
n
}是等比数 列;
解 (1)∵ S
n+1
=4a
n
+2
S
n+2
=4a
n+1
+2
两式相减,得
S< br>n+2
-S
n+1
=4a
n+1
=4a
n
( n∈N*)
即:a
n+2
=4a
n+1
-4a
n

变形,得a
n+2
-2a
n+1
=2(a
n+1
- 2a
n
)
∵ b
n
=a
n+1
-2a
n
(n∈N*)
∴ b
n+1
=2b
n

由此可知,数列{b
n
}是公比为2的等比数列.
由S
2
=a
1
+a
2
=4a
1
+2,a
1
=1
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可得a
2=5,b
1
=a
2
-2a
1
=3
∴ b
n
=3·2
n-1

将b
n
=3·2
n-1
代入,得
说明 利用题设的已知条件,通过合理的转换,将非等差、非等比数列转
化为等差数列或等比数列来解决
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