命题公式等比数列的前n项和的推导及错位相减法的拓展

等比数列的前n项和的推导及错位相减法的拓展
本文首先从实际问题出发，抽象出 数学问题：等比数列求和。运用演绎推理
的方法从一般性的原理出发而逐步加深，体现了抽象和推理是数 学的显著特征。
接着归纳出错位相减法，最后对错位相减法的本质作了深层次的探讨。

演绎推理 错位相减法 等比数列

等比数列是数学里重要模型之一，它来源于我们 的实际生活，在生产生活中
有着广泛的应用，甚至进入高校学习高等数学及体会数学的应用价值都具有重 要
的意义.等比数列前n项和公式的应用是重点，其本身的推导方法也是教学中的
重难点.如何 解决这一难点，本文在教学中引导学生开展了深入的探索。等差数
列求和公式的核心是倒序相加法，而等 比数列求和公式的核心应该是错位相减
法。如何利用演绎推理的方法引导学生理解错位相减法的思想呢？ 错位相减法的
本质是什么呢？本文很好的解决了这个问题。

1.情境导入

在人教版必修5第二章第五节中关于国王奖励国际象棋发明者的故事，在第
一个格内 放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒……
直到把第六十四个格子填满.这位发明者所要求的麦粒数究竟是多少呢？

各个格的 麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨班达依尔所
要的奖赏就是这个数列的前64项和. 这样我们将一个实际问题归为了一个数学问
题。

那如何求数列1，2，4，…262，263的各项和？我们不妨根据定义求解。

以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和，可表示为：

我们发现后面63 项均为偶数，所以它们可以提出公因数2，恰好为此等比
数列公比，则我们可以得到：

上式中括号里的数恰好是此数列前63项的和，所以我们可以用 ，得到：

解得

上式过程中，后63项我们提取了系数2，我们发现2恰好为该等比数列的
公比，根 据类比推理的思想，那对于一般的等比数列，我们提取公比q，是不是
可以达到同样的效果呢？我们不妨 试一试。

2.等比数列的前n项和的推导


=

==

这是一个关于的方程，整理得

我们发现n=1时也满足上式，故

于是我们得到以下公式：

当时， ，当q=1时，。

3.错位相减法的导出

上式公式 的推导要根据n的取值分情况讨论，不够完美，但是我们是否可以
在上面的推导中寻找新的突破口呢？得 到完美的解答呢？

根据我们之前的解答，发现我们是利用了方程的思想结题，用到了数学中 重
要的化归思想，因此我们不妨记为x，为y，我们可以将上式的推导化为

我们要 求得x，只需令-×q，便可消去y，得到关于x的方程。也就是说我们
让—×q便可求出我们的结果， 我们不妨试一试。

一般地，设等比数列它的前n项和是

由

得

∴当时， ① 或 ②

当q=1时，

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数列求和的一个重要
方法

反思：为什么要用错位相减法呢？

原来根据等比数列的性质，数列中， 从第二项开始，每一项乘以q就变为其
后一项，而在求和时，项数比较多造成计算的困难，与q有（n- 1）项相同，两
者作差时可将相同的项消去，得到一个关于的方程，用方程的思想便可解决求和
问题。

除了方程的思想，先猜想后证明也是我们常用的技巧，如何猜出，呢？


从简单到复杂，引人入胜

我们按照前n项和定义

即只需求出，其中

当n=1时，即

当n=2时，即

当n=3时，即

当n=4时，即

有上面可以猜想，那么

如何证明上式呢？

我们发现可以的两边可以同时乘以（1-q），这样只需证明，即只需

而上面恰好 可以由错位相减法证明，这样我们便完成了先猜想后证明的解题
方法，体现了数学的乐趣。

4.错位相减法的拓展

拓展一：若{}成等比数列 ，公比为q（q≠1），{}成等差数列 ，其公差为d，

求

解：

—

拓展二：若{}成等比数列 ，公比为q（q≠1），{}成等差数列 ，其公差为d，
前n项和为，求

解：

—得

故

由上面两个例子，我们可以大胆猜想，若{}为一个m次多项式（m为正整

数），{}成等比数列 ，则我们可以用m次错位相减法求得{} 的前n项的和。

证明：设

， 均为常数。

故上式可以分为m组求和公式。则只需证明可以用m次错位相减法求出。

下面我们用数学归纳法证明：

m=1，m=2时已证明。

假设m=i时，可以用i次错位相减法求出，m=i+1时，

-得
< br>上式是一个关于n的i次多项式与等比数列乘积的前n项和，根据递推得上
式可以用i次错位相减 法求得。故m=i+1时，需要用（i+1）次错位相减法求得。

由得可以用m次错位相减法求得。

故我们可以证得：

若{}为一个m次多项式（m为正整数），{}成等比数列 ，则我们可以用m
次错位相减法求得{} 的前n项的和。错位相减法的本质是可以让数列达到降次
的目的。

参考文献

【1】史宁中.数学思想概论：数学中的归纳推理【M】。长春：东北师范大
学出版 社，2010；111.

【2】张士藻等著.数学方法论简明教程.南京：南京大学出版社，2008.

【3】史久一，朱梧槚著.化归与归纳、类比、联想.大连：大连理工大学出版
社，2008.