计算密度的公式课标A版--高考数学一轮复习---§6.3 等比数列及其前n项和--(附答案)

§6.3 等比数列及其前n项和

考纲解读


考点

内容解读

要求

高考示例

2017课标全国Ⅱ,3;
常考题型

选择题
填空题
解答题
选择题
预测热度

①理解等比数列的概念;
1.等比数列及其性质
②掌握等比数列的通项公式与前n项和公
式;
③能在具体的问题情境中识别数列的等比
2.等比数列前
n项和公式
关系,并能用有关知识解决相应的问题;
掌握
④了解等比数列与指数函数的关系
2014课标Ⅱ,17
解答题

分析解读 1.理解等比数列的概念、掌 握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公
式、求前n 项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.
2017江苏,9;
填空题
★★★
2015课标Ⅱ,4
理解
2016课标全国Ⅰ,15;
★★★
五年高考

考点一 等比数列及其性质


1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七 层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,
请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且 相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯
( )
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
答案 B
2.(2016天津,5,5分)设{a
n
}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a
2n-1< br>+a
2n
<0”的( )

A.充要条件 B.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件 C.必要而不充分条件
实用文档
1

答案 C
3.(2015课标Ⅱ,4,5分)已 知等比数列{a
n
}满足a
1
=3,a
1
+a
3< br>+a
5
=21,则a
3
+a
5
+a
7
=( )
A.21 B.42 C.63 D.84
答案 B
4.(201 7北京,10,5分)若等差数列{a
n
}和等比数列{b
n
}满足a
1
=b
1
=-1,a
4
=b
4
=8,则= .
答案 1
5.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{a
n
}满足a
1
+a
3
=10,a
2
+a
4
=5,则a
1
a
2
…a
n
的最大值为 .
答案 64
6.(2015湖南,14,5分)设S
n
为等比数列{an
}的前n项和.若a
1
=1,且3S
1
,2S
2,S
3
成等差数列,则a
n
= .
答案 3

n-1
教师用书专用(7—13)

7.(2013江西,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )
A.-24 B.0
答案 A
8.(2013福建,9,5分)已知等比数列{a
n
}的公比为q,记b
n
=a
m(n-1)+1
+a
m(n-1)+2
+…+a
m(n-1)+m
,c
n
=a
m(n-1)+1
·a
m(n-1)+2
·…·a
m(n-1)+m
(m,n∈N),则以下
结论一定正确的是( )
A.数列{b
n
}为等差数列,公差为q

B.数列{b
n
}为等比数列,公比为q

C.数列{c
n
}为等比数列,公比为
D.数列{c
n
}为等比数列,公比为
答案 C
9.(2014 广东,13,5分)若等比数列{a
n
}的各项均为正数,且a
10
a
11
+a
9
a
12
=2e,则ln a
1
+ln a
2
+…+ln a
20
= .
答案 50
1 0.(2014天津,11,5分)设{a
n
}是首项为a
1
,公差为-1的 等差数列,S
n
为其前n项和.若S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,则a
1
的值
为 .
答案 -
2
5
2m
m
*
C.12 D.24
实用文档
< br>11.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{a
n
}中,若a
2
=1,a
8
=a
6
+2a
4
,则a
6
的值是 .
答案 4
12.(2014安徽,12,5分)数列{an
}是等差数列,若a
1
+1,a
3
+3,a
5
+5构成公比为q的等比数列,则q= .
答案 1
13.(2013江苏,1 4,5分)在正项等比数列{a
n
}中,a
5
=,a
6
+a
7
=3.则满足a
1
+a
2
+…+a
n
> a
1
a
2
…a
n
的最大正整数n的值为 .
答案 12
考点二 等比数列前n项和公式

1.(2013课标全国Ⅱ, 3,5分)等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
=a
2
+10a
1
,a
5
=9,则a
1
= ( )

A. B.-
C. D.-
答案 C
2.(2017江苏,9,5分)等比数列{a
n
}的各 项均为实数,其前n项和为S
n
.已知S
3
=,S
6
=,则 a
8
= .
答案 32
3.(2015安徽,14,5分)已知 数列{a
n
}是递增的等比数列,a
1
+a
4
=9,a2
a
3
=8,则数列{a
n
}的前n项和等于 .
答案 2
n
-1
4.(2016四川,19,12分)已知数列{a
*
n
}的首项为1,S
n
为数列{a
n
}的前n项和,S
n+1
=qS
n
+1,其中q>0,n∈N.
(1)若2a
2
,a
3
,a
2
+2成等差数列,求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设双曲线x
2
-=1的离心率为e
n
,且e
2
=,证明:e
1
+e
2
+…+e
n
>.
解析 (1)由已知,S
n+1
=qS
n
+1,S
n+2< br>=qS
n+1
+1,
两式相减得到a
n+2
=qa
n+1
,n≥1.
又由S< br>2
=qS
1
+1得到a
2
=qa
1
,
故a
n+1
=qa
n
对所有n≥1都成立.
所以,数列{a
n
}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而a
n
=q
n-1
.由2a
2
,a
3
,a
2+2成等差数列,可得
实用文档
3

2a
3
=3 a
2
+2,即2q=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,
由已知,q>0,故q=2.所以a
n
=2
(n∈N).
n-1*
2
(2)由(1)可知,a
n
=q.
所以双曲线x
-=1的离心率e
n
==.
2
n-1
由e
2
==,解得q=.
因为1+q
k-1
2(k-1)
>q
2(k-1)
,
所以>q
(k∈N).
*
于是e
1
+e
2
+…+e
n
>1+q+…+q
=,
n-1
故e
1
+e
2
+…+e
n
>.
疑难突破 由(1)可得e
n
=,因为不等式左边是e
1
+e
2
+…+e
n
,直接求和不行,利用放缩法得e
n
=>=q
,从而得e
1
+e
2
+…+e
n
>q+q+…+q,n-101n-1
化简即可.
评析 本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列{ a
n
}是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.
5 .(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a< br>n+1
=3a
n
+1.
(1)证明是等比数列,并求{a
n
}的通项公式;
(2)证明++…+<.
解析 (1)由a
n+1
=3a
n
+1得a
n+1
+=3.
又a
1
+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.
a
n
+=,因此{a
n
}的通项公式为a
n
=.
(2)由(1)知=.
因为当n≥1时,3
-1≥2×3,
nn-1
所以≤.
于是++…+≤1++…+=<.
所以++…+<.
教师用书专用(6—11)

6.(2013北京,10,5分)若等比数列{an
}满足a
2
+a
4
=20,a
3
+a
5
=40,则公比q= 前n项和S
n
= .
实用文档
4

答案 2;2
-2
n+1
7.(2013辽宁,1 4,5分)已知等比数列{a
n
}是递增数列,S
n
是{a
n
}的前n项和.若a
1
,a
3
是方程x-5x+4=0的两个根,则S6
= .
2
答案 63
8.(2015山东,18,12分 )设数列{a
n
n
}的前n项和为S
n
.已知2S
n
=3+3.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)若数列{b
n
}满足a
n
b
n
=log
3
a
n
,求{b
n
}的前n项和T
n
.
解析 (1)因为2S
n
=3
n
+3,所以2a
1
=3+3,故a
1
=3 ,
当n>1时,2S
n-1
=3
n-1
+3,
此时2a
n
=2S
n
-2S
n-1
=3
n
-3n-1
=2×3
n-1
,即a
n-1
n
=3,
所以a
n
=
(2)因为a
n
b
n
=lo g
3
a
n
,
所以b
1
=,
当n>1时 ,b
n
=3
1-n
log
1-n
3
3
n- 1
=(n-1)·3.
所以T
1
=b
1
=;
当n>1时,
T
-1-21-n
n
=b
1
+b< br>2
+b
3
+…+b
n
=+[1×3+2×3+…+(n-1) ×3],
所以3T
n
=1+[1×3
0
+2×3
-1+…+(n-1)×3
2-n
],
两式相减,得
2T
0-1 -22-n1-n
n
=+(3+3+3+…+3)-(n-1)×3

=+-(n-1)×3
1-n

=-,
所以T
n
=-.
经检验,n=1时也适合.
综上可得T
n
=-.
9.(2015江苏,20,16分)设a
1
,a
2
,a
3
,a
4
是各项为正数且公差为d(d ≠0)的等差数列.
实用文档
5

(1)证明:,,,依次构成等比数列;
(2)是否存在a
1
,d,使得a
1
,,,依次构成等比数列?并说明理由;
(3)是否存在a
1
, d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列?并说明理由.
解析 (1)证明:因为==2
d
(n=1,2,3)是同一个常数,所以,,,依次构成等比数列.
(2)令a
1
+d=a,则a
1
,a
2
,a
3
,a
4
分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).
假设存在a
1
,d,使得a
1
,,,依次构成等比数列,
则a
4
=(a-d)(a+d)
3
,且(a+d)
6
=a< br>2
(a+2d)
4
.
令t=,则1=(1-t)(1+t)
3
,且(1+t)
6
=(1+2t)
4
,
化简得t
3
+2t
2
-2=0(*),且t
2
=t+1.将t
2< br>=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t
2
+3t=t+1+3 t=4t+1=0,则t=-.
显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在a
1
,d,使得a
1
,,,依次构成等比数列.
(3)假设存在a
n+2k2(n+k)
1
,d及正整数n,k,使得,,,依次构 成等比数列,则(a
1
+2d)=(a
1
+d),且(a
n+k1
+d)(a
1
+3d)
n+3k
=(a
2(n+2k )
1
+2d).
分别在两个等式的两边同除以及,
并令t=,
则(1+2t)
n+2k
=(1+t)
2(n+k)
,且(1+t)
n+k
(1+3t)
n+3k
=(1+2t)
2(n+2k)
.
将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t),
且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).
化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],
且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].
再将这两式相除,化简得
ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1 +t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).
令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+ t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t),
则g'(t)=
.
实用文档
6

令φ(t)=(1+3t)
ln(1 +3t)-3(1+2t)ln(1+2t)+3(1+t)
·ln(1+t),
222则φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln (1+t)].
令φ
1
(t)=φ'(t),
则φ'
1
(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].
令φ
2
(t)=φ'
1
(t),
则φ'
2
(t)=>0.
由g(0)=φ(0)=φ
1
( 0)=φ
2
(0)=0,φ'
2
(t)>0,
知φ
2(t),φ
1
(t),φ(t),g(t)在和(0,+∞)上均单调.
故g( t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a
1
,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列.
10.(2013天津,19,14分)已知首 项为的等比数列{a
n
}不是
递减数列,其前n项和为S
n
(n∈N
),且S
3
+a
3
,S
5
+a
5
,S
4
+a
4
成等差数列.
．．
*
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设T< br>n
=S
n
-(n∈N),求数列{T
n
}的最大项的值与最小 项的值.
解析 (1)设等比数列{a
n
}的公比为q,因为S
3
+a
3
,S
5
+a
5
,S
4
+a
4
成等差数列,所以S
5
+a
5
-S
3
-a
3
=S
4
+a
4
-S
5
-a
5
,即4a
5
=a
3
,于是q
==.
2
*
又{a
n
}不是递减数列且a
1
=,所以q=-.故等比数列{a
n
}的通项公式为a
n
=×=(-1)
·.
n-1
(2)由(1)得S
n
=1-
=
当n为正奇数时 ,S
n
随n的增大而减小,所以1n
≤S
1
=,故0< S
n
-≤S
1
-=-=.
当n为正偶数时,S
n
随n的增大而增大,所以=S
2
≤S
n
<1,
故0>S
n
-≥S
2
-=-=-.
综上,对于n∈N
,总有-≤S
n
-≤.
*
所以数列{T
n
}最大项的值为,最小项的值为-.
11.(2 013湖北,18,12分)已知等比数列{a
n
}满足:|a
2
-a
3
|=10,a
1
a
2
a
3
=125.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.
实用文档
7

解析 (1)设等比数列{a
n
}的公比为q,
则由已知可得解得或
故a
n
=·3
n-1
,或a
n
=-5·(-1)
n-1
.
(2)若a
n
=·3
n-1
,则=·,
故是首项为,公比为的等比数列,
从而==·<<1.
若a
n
= (-5)·(-1)
n-1
,则=-(-1)
n-1
,
故是首项为-,公比为-1的等比数列,
从而=故<1.
综上,对任何正整数m,总有<1.
故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.
三年模拟

A组 2016—2018年模拟·基础题组

考点一 等比数列及其性质


1.(201 8广东广雅中学、东华中学、河南名校第一次联考,7)已知公比不为1的等比数列{a
n
}的 前n项和为S
n
,a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
=,且
a
2
,a
4
,a
3
成等差数列,则S
5
=( )
A. B. C. D.
答案 D
2.(2018云南玉溪模拟,7)等比数列{a
n
}中,a
1
=512,公比q=-,记Π
n
=a
1
×a
2
×…×an
(即Π
n
表示数列{a
n
}的前n项之
积),Π8
,Π
9
,Π
10
,Π
11
中,值为正数的个 数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
3.(2017福建4 月模拟,6)已知递增的等比数列{a
n
}的公比为q,其前n项和S
n
<0 ,则( )
实用文档
8

A.a
1
<0,01
<0,q>1
C.a
1
>0,01
>0,q>1
答案 A
4.(2016福建厦门一中期中,4)已知数列{a
n
}为等比数列,且a1
a
13
+2=4π,则tan(a
2
a
12
)的值为( )
A. B.-
C.± D.-
答案 A
考点二 等比数列前n项和公式

5.(2017河北衡水中学高三上学期第三次调研,4)等比数列{ a
n
}的前n项和为S
n
,已知a
2
a
5
=2a
3
,且a
4
与2a
7
的等差中项为,则
S< br>5
=( )
A.29 B.31 C.33 D.36
答案 B
6.(2018江西新余第一中学四模,14)等比数列{a
n-1
n
}的前n项和 为S
n
,S
n
=b(-2)-a,则= .
答案 -
7.(2017江西吉安一中期中,15)已知正项等比数列{a
n
}满足log2
a
n+2
-log
2
a
n
=2,且a
3
=8,则数列{a
n
}的前n项和S
n
= .
答案 2
n+1
-2
B组 2016—2018年模拟·提升题组

(满分:50分 时间:40分钟)

一、选择题(每小题5分,共20分)


1.(2018湖北荆州一模,9)已知数列 {a
n
}是公差不为0的等差数列,且a
1
,a
3
,a7
为等比数列{b
n
}的连续三项,则的值为( )
A. B.4 C.2 D.
答案 A
2.(2017河南洛阳期中,11)已知数列S
n
为等比数列{a
n
}的前n项和,S
8
=2,S
24
=1 4,则S
2

016
=( )

实用文档
9

A.2-2 B.2-2
C.2
1 008
252253
-2 D.2
2 016
-2
答案 B 3.(2017江西南昌摸底考试,11)设等比数列{a
n
}的公比为q,其前n项之积 为T
n
,并且满足条件:a
1
>1,a
2

016
a
2

017
>1,<0,给出下列结
论:(1)02

016
a
2

018
-1>0;(3)T
2

016
是数列{T
n
}中的最大项;(4)使T
n
>1成立的最大自然数等于4 031,其中正确的结论为( )
A.(2)(3) B.(1)(3)
C.(1)(4) D.(2)(4)
答案 B
4.(2016江西名校学术联盟 调研三,7)已知等比数列{a
n
}的各项都为正数,其前n项和为S
n
,且 a
1
+a
7
=9,a
4
=2,则S
8
=( )
A.15(1+) B.15
C.15(-1)或15 D.15(1+)或15
答案 D

二、填空题(每小题5分,共15分)

5.(201 8广东广州第一次调研,14)在各项都为正数的等比数列{a
n
}中,若a
2

018
=,则+的最小值为 .
答案 4
6.(2018湖北黄石第三中学阶段性检测,15)下表给出一个“三角形数阵”:
,
,,
,,,
……
已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数 成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a
i-j
,则(1)a
8-
3
=
(2)前20行中这个数共出现了 次.
答案 (1) (2)4
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10

7.(2017江西仿真模拟,16 )已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足:a
1
=1 ,a
2
=2,S
n
+1=a
n+2
-a
n+1(n∈N),若不等式λS
n
>a
n
恒成立,则实数
*
λ的取值范围是 .
答案 λ>1

三、解答题(共15分)

8.(2017湖南郴州第一次教学质量检测,19)已知数列{a
*
n
}的 首项a
1
=1,且a
n+1
=(n∈N).
(1)证明:数列是等比数列;
(2)若b
n
=-,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
解析 (1)证明:∵a
n+1
=,
∴==+,
∴-=.
又a
1
=1,∴-=,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)知,-=·=,
即=+.
∴b
n
=-=.
于是S
n
=+++…+,①
S
n
=++…++,②
①-②得,S
n
=++…+-=- =1--,则S
n
=2--=2-,
∴数列{b
n
}的前n项和S
n
=2-.
C组 2016—2018年模拟·方法题组

方法1 等比数列基本运算的解题技巧
1.(2017福建漳州八校2月联考,3)等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
3
=2,S
6
=18,则等于( )

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A.-3 B.5 C.-31 D.33
答案 D
2.(2017山西运城康杰中学模拟(2),7)已知{a
n
} 是各项均为正数的等比数列(公比q>1),b
n
=log
2
a
n< br>,b
1
+b
2
+b
3
=3,b
1
b
2
b
3
=-3,则a
n
=( )
A.2
2n-3
B.2
5-2n

C.2
2n-5
D.2
2n-3
或2
5-2n

答案 A
方法2 等比数列的判定与证明

3.(2016河南洛阳期中模拟,5)下列结论正确的是( )
A.若数列{a
2
n
}的前n项和S
n
=n+n+1,则{a
n
}为等差数 列
B.若数列{a
n
n
}的前n项和S
n
=2-2,则{ a
n
}为等比数列
C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则,,也可能构成等差数列
D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则,,一定构成等比数列
答案 D
4.(2018湖北八校第一次联考,17)已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
2
=4,a
n+2
=4a
n+1
-4a< br>n
.
(1)求证:{a
n+1
-2a
n
}为等比数列;
(2)求数列{a
n
}的通项公式.
解析 (1)证明:由a
n+ 2
=4a
n+1
-4a
n
得a
n+2
-2a
n+1
=2a
n+1
-4a
n
=2(a
n+1
- 2a
n
),∴=2,又a
2
-2a
1
=2≠0,∴{an+1
-2a
n
}是等比数列.
(2)由(1)可得a
n-1
n+1
-2a
n
=2(a
n
2
-2a
1< br>)=2,∴-=,∴是首项为,公差为的等差数列,∴=,∴a
n
=n·2
n- 1
.


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